← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447954336319681282002757279344a^{2} + 331409120318654973887948970072a + 633740190062762687547979840704 )x^{47} + (-202840854757164150661316233464a^{2} + 530660801811636981748020923320a - 142026465746834609947879610332 )x^{46} + (-445827755739154565923522022928a^{2} - 101522249811842223148492537160a - 170911623461751174254423231760 )x^{45} + (629139031347450330722167059140a^{2} - 146846100851532786373828957112a + 403953564289324305729673182548 )x^{44} + (-489807389498149897963595789672a^{2} + 347260415176390766703927768088a - 173605636302905063181797431432 )x^{43} + (138546625519559564861590668080a^{2} - 485713420845962540010829071732a - 173471759164695717236070406080 )x^{42} + (-329319277846341875222339733968a^{2} + 56050116190448656166176519584a - 297537108704960281426518368280 )x^{41} + (-18833476691623237980623835440a^{2} + 482415150868230793549702528328a + 59411498959099066500600337952 )x^{40} + (530634371261343909251343118928a^{2} - 156586626771645878870989038336a - 314898078158561468048589368832 )x^{39} + (-147057604247286626297928140624a^{2} + 98439940748265376278394482844a + 563082676629222996445377553444 )x^{38} + (-203466085691065748455325932832a^{2} + 437812504752942948946129535840a - 588568051826839845604453033512 )x^{37} + (-393989483830246830731601187596a^{2} - 524774140515689190604800880764a + 43008688329092713343712667456 )x^{36} + (-249483626648152981162955139632a^{2} - 560888421446957410645107564304a - 120180688991211018637077326640 )x^{35} + (-575349371134486804965978340800a^{2} - 486828411732359932072245943648a - 28721430400368662651453680044 )x^{34} + (422430110247904466020694674160a^{2} - 124553130026830195861262094904a - 19016206404630796573398939768 )x^{33} + (600458670412317191246863068894a^{2} + 579203223767516904303223626074a + 352913709595245484115007095102 )x^{32} + (405478065346560199508422211600a^{2} - 331848181798361397809565536400a - 267785607298648499333409979152 )x^{31} + (576973426041450505877147378472a^{2} - 22372044236817717170793867104a - 436588386104166526225659848096 )x^{30} + (-388180963376132102224933690600a^{2} - 550062015354783599577487354552a + 565493437493715366726547202120 )x^{29} + (549792763486333958454142840524a^{2} + 133731407699807922312093809416a + 261157888343621099608755100280 )x^{28} + (-27528543692689070907589272624a^{2} + 50030859432824876233739900240a + 588808573634124252735484715648 )x^{27} + (-54118904621886139306923854024a^{2} + 399218900211132630931457689784a - 590474360303922012798902905128 )x^{26} + (566851772233259791600498217704a^{2} - 484592176584850385527573931024a - 349639862600220628432103576448 )x^{25} + (-227333347480198464374978621064a^{2} + 247217089631864339612706524768a - 380731582005222550476117699520 )x^{24} + (-603801649815685107689276769632a^{2} + 114026455224757876441031278080a + 138077133292969399620829020704 )x^{23} + (-224015371312912993842384002424a^{2} + 391949094610738948023997845568a - 579584704537030822939199700760 )x^{22} + (-292658962633091904111545668064a^{2} + 491320925947720527133768632544a - 283168609192218771868136611552 )x^{21} + (-337979288161476200742799853840a^{2} + 27740246596272168384691217672a + 633635641388438997362868229808 )x^{20} + (-84944911531152686298357341136a^{2} - 38646732344203346526401980720a - 86903795749587157051167700576 )x^{19} + (619304044613389938146640857336a^{2} + 72746813685938499272993331928a + 383423092430715635722673090816 )x^{18} + (82135227942463793777127972224a^{2} + 283928777906469034650116730288a + 314895133242782616424861862944 )x^{17} + (-451670261002748908590599385560a^{2} + 470196677864108842890142441972a - 373885643906952604250114511164 )x^{16} + (9733874392445429180698259104a^{2} - 416743295528568683034083854208a - 569621584385604420438042256832 )x^{15} + (-621446633209305457543087590768a^{2} - 324563282015125433888683642576a - 514125953496581638696253666000 )x^{14} + (-530564118683022198126683669168a^{2} + 268296573695957047341064870784a - 318030363590170422497851643472 )x^{13} + (266549524160758486393484625600a^{2} + 472034991647339923308594980424a - 399121234938915196897626985328 )x^{12} + (-246901033195046877326518552640a^{2} - 192130023345715044090333590112a + 146035429309605911266051585408 )x^{11} + (-278456002951554048597601976200a^{2} - 519515912912716338595872030608a + 478305879134432581889717508408 )x^{10} + (-352766913329847037849052369616a^{2} - 278583502511121811587232233600a + 93933390959068210765748785808 )x^{9} + (255822672919481808906681378220a^{2} - 413761086988635711695478923500a + 1247190254357583102247816904 )x^{8} + (139572304135273242496121209568a^{2} + 120412932605179273909616561120a - 102942687376014273771229694336 )x^{7} + (-598331158608476843564005628560a^{2} - 10411856711210780749837420976a + 254705909833572799127782882832 )x^{6} + (-568285164087170284636518032096a^{2} + 319968287693609069308475855136a - 40197430716876148779718445952 )x^{5} + (-473184618587464915866968911344a^{2} + 203487068789323216024943431896a - 149563495709841768664694478720 )x^{4} + (194929356944718090189374630944a^{2} + 229637454220300405861810760992a - 85108061611670198014082040992 )x^{3} + (50134310221158570432683879712a^{2} + 497899129423374141959753785616a - 305065430456036524011195639520 )x^{2} + (-464717870077580129532326671776a^{2} + 379292507572088403444013014160a - 486499629208600707441641575008 )x + 598501384812284654026731087132a^{2} + 36961910812032064128993330676a + 604104890917388133908080046684 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary