← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (243940525378715201506979019704a^{2} - 123456191121421098059439254864a - 516030487263923863007326765808 )x^{47} + (271935769172719204539461269624a^{2} + 116096142270677732509984431028a - 357991591598501006037102220776 )x^{46} + (-611874172929852690810584260624a^{2} - 630825689811994601436514484152a - 234400041966406549899545087640 )x^{45} + (293949318502278510370044857368a^{2} - 281204005361535949262301012032a + 595015576085510589858433096464 )x^{44} + (-433892723142619224992205790224a^{2} + 581837655588411687114184210944a + 103656750526916025346534197488 )x^{43} + (-425398221301477009967187525908a^{2} - 385687000410244408331150748484a - 462829685366568268712241926836 )x^{42} + (523142904671331151083196795808a^{2} - 112716807456152237052489775072a - 443132665903985691363876520712 )x^{41} + (-577569588590674732041581418304a^{2} - 566137429103602905823805700200a - 207046950711573038492457955324 )x^{40} + (454585863023097441725884241200a^{2} - 602024883852802630293443068624a + 408360327979366844054187133136 )x^{39} + (-194080588725106383608286740288a^{2} + 535294419769177465123359802544a - 57329424114017019739701205368 )x^{38} + (69014354504448316414094197808a^{2} + 518680898761691030568798794616a + 350352987624918112062936535648 )x^{37} + (-304908081296791591555355087984a^{2} + 470560278140641021529434138748a - 189377084986671989741897940592 )x^{36} + (611453400011631784410626776560a^{2} + 480799964564191840242899649776a - 445000351316025145163775535536 )x^{35} + (124246729204455698155536237208a^{2} - 160036993733918395712775045568a + 97603468835546488683060149340 )x^{34} + (-429184720549796632107917041008a^{2} - 601620200909096279014885272184a + 491714198933765961743672252280 )x^{33} + (566142572560570271367103766424a^{2} + 486485303623635508922939109030a + 389599645614895859970577146836 )x^{32} + (10719341076109963459237255424a^{2} + 366102340330096448553618319088a - 592052181310003371385756363616 )x^{31} + (-157522584058003387467803525952a^{2} + 381791041605758643679163613984a + 17307192618926424219444388920 )x^{30} + (-494017246466912830306931209808a^{2} - 175947190957656075854092567016a + 330486769010803403175562953480 )x^{29} + (-66045800889576393579189555868a^{2} - 347664141486051746144291060052a + 313060426484321269520214142744 )x^{28} + (-118394862575263604017462380816a^{2} + 243572380119969416925768670848a + 337339806122477508770092005520 )x^{27} + (-173145589233476399513431037520a^{2} + 496770112740852661736162882352a - 146894995540213118431227958584 )x^{26} + (625159986800270606529546271584a^{2} - 560542546804924424673673435616a + 406855530743246674859515452944 )x^{25} + (-141656979683840288294921084564a^{2} + 237000515032163938162161850228a + 603889131625396313128163050468 )x^{24} + (449179569531814569915122087936a^{2} + 550491570411378199553474284544a + 177975454882530608682405615216 )x^{23} + (553663858077719091438559055632a^{2} - 137301183012692756646122959960a + 356709853959858286988439432784 )x^{22} + (420052071493464277832766978288a^{2} + 276175549775376448376082774128a + 632352708753015024912049108880 )x^{21} + (-166327561579649946365396309792a^{2} - 169554426303341300237501585160a - 280048944188974601241960000928 )x^{20} + (-313056362257924017161054815520a^{2} + 491214692434758077916909414592a - 306491265174941140101698960192 )x^{19} + (164122369120508814868750307640a^{2} - 191771999465835711878281548416a - 491335939504658277418469864040 )x^{18} + (-221159737396201055662245813328a^{2} + 162777150910702970322025048816a - 331598993642568245590128047504 )x^{17} + (464786502658087197644972408604a^{2} + 630921927867891321897826930320a - 376542983831150283276177262960 )x^{16} + (-401872960890670059970914664032a^{2} - 91836446814040365357799596096a + 500870422978944780051739171264 )x^{15} + (-532101564309379516063041199256a^{2} - 492060183724071090994779880936a - 421305973905663562658623080928 )x^{14} + (-224385897383945492164827679712a^{2} + 579202093962307921123741457616a + 182270885132199702301113620272 )x^{13} + (222790762282121199340699494888a^{2} - 89990851032371418107999147168a - 463210032434106425093584256920 )x^{12} + (-613354504315096629062750189152a^{2} - 124355460161663756277774046624a + 575299387357679639536849783808 )x^{11} + (396379183900125098122591887984a^{2} + 285747475579632492030940316400a - 96924740599087802607376537016 )x^{10} + (-408244156400920859521066190912a^{2} - 55540193207038247997787997680a + 124266070428569105662362070224 )x^{9} + (477727093411206243233546000480a^{2} - 41445590675147917520689256468a + 433090437823363255547776227624 )x^{8} + (-595432969622538615139184010976a^{2} + 110351795134323002844175151904a - 94379910445738305539772843328 )x^{7} + (381908399253388887912721595920a^{2} + 317408528279638239280396617664a + 510026786427933952209135350800 )x^{6} + (114418970554676327136713032208a^{2} + 223622730599015957853617940656a + 585358782964964394711409457840 )x^{5} + (556545037542837723792092547720a^{2} + 134884878302256711299905088936a + 518534396157221365898961838288 )x^{4} + (192300464689973631996181956000a^{2} + 478453080823278953866924986496a - 54957129107152749812756249632 )x^{3} + (86372232863226030326947710784a^{2} + 392915591454102827499189928512a + 184036855145398087245260285568 )x^{2} + (-89629682030180836680246241856a^{2} + 123931206912221394539629755392a + 58511771565744822427940244064 )x - 342539855525174028976986533288a^{2} - 166460385786185002003446116664a - 84579764871306486321453741644 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary