← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447954336319681282002757279344a^{2} + 331409120318654973887948970072a + 633740190062762687547979840704 )x^{47} + (258339822900849192044264999800a^{2} + 61365000633331871039041835680a - 92145424257066903554245170972 )x^{46} + (-143604125085347665333003496736a^{2} + 133867032792151806043235465768a + 468702482967405133604895084848 )x^{45} + (149336073636706655705335919156a^{2} - 353308860625010916468727987480a + 542704470436540487588978393108 )x^{44} + (28732102572566100050416772040a^{2} + 93817890580247930185169668136a - 233177157015606514417593361800 )x^{43} + (-55197538215016963545758374232a^{2} - 604396994228988509681474508444a - 236138027036913051250261297488 )x^{42} + (-308523099049288534135052838392a^{2} - 322271046672842074825370743000a + 404670020289357377865658885616 )x^{41} + (78445804834777731940379631292a^{2} + 189943842403171013111595674216a + 524587473556631123748828042236 )x^{40} + (29827279488307966286435135216a^{2} + 57941691741665262955335170144a + 130964586709812039253610969888 )x^{39} + (169762219801087071399311206528a^{2} + 496267203229557279199578441132a + 397602623338916285910409729524 )x^{38} + (70223833897725197156840485504a^{2} - 31731044328081420281667798912a + 201186298447918200091283315464 )x^{37} + (-430054631674291917062158778324a^{2} + 76190186099712498739940333932a - 627928033510616107511342989104 )x^{36} + (-269027752516033387062679277456a^{2} + 432016983004046694765872892304a + 164870714190550073881052824080 )x^{35} + (-558199916539668157216779962400a^{2} + 516685796810704118120129756064a - 68927992405689731232274473228 )x^{34} + (374529789870888694581804388848a^{2} - 3402212399065335325257102520a - 3070954072773447296752918856 )x^{33} + (-301828135121238318652322889950a^{2} - 477585146477362269775238248146a - 507349556335092342693297764938 )x^{32} + (2943073990734700270316543984a^{2} - 542523623211859097248795414096a + 132001343530587702692563877264 )x^{31} + (242987114956365787685111040984a^{2} + 381728450197343948561177994816a - 228382921987234185031469030480 )x^{30} + (169898070861299554132404831448a^{2} + 118554844526398981580614351048a + 315731497370935345588168593800 )x^{29} + (70303674700156344882573487076a^{2} - 614943065228480661464175240240a - 151322581637698363978641231816 )x^{28} + (558443351615603720627257700368a^{2} + 532654463966171063133743100112a + 282080227533915930185577295328 )x^{27} + (-480622990808219559042292726936a^{2} - 374523980910368977847134438968a + 337553400439311358342794255848 )x^{26} + (180767722585740153265616085080a^{2} - 130690010897382244276484803200a + 89354960154077303286272424480 )x^{25} + (571385752450149143730776564344a^{2} + 384598059697757168060626924040a - 1742826910382439205654863992 )x^{24} + (266747421837100876684075095552a^{2} + 525277689982010832304584775872a + 127335666364849490961515233472 )x^{23} + (624065947415280966099986277640a^{2} - 226485018693971198879416904112a + 72226658373629460066134798424 )x^{22} + (-244539751766111515523764264000a^{2} + 365395488913432629786665711968a + 471263414382115224416127105184 )x^{21} + (329148081920643322448626535968a^{2} - 253013459360207400677773892144a + 627924259298625368922094951584 )x^{20} + (-148749154301517418806641505936a^{2} + 115229485785117394193172010512a + 11170868355233422761689034016 )x^{19} + (-305626420131219264251862786184a^{2} + 218288760423993695870168906632a - 326115827427195991761050412880 )x^{18} + (302403549527733800514031157056a^{2} + 98097982640300846841510471024a + 27528299881481413607705805504 )x^{17} + (360174109500684031305147552096a^{2} - 55901497519772496029994474932a + 220891695302016535506097423612 )x^{16} + (-240869018432901707237355263520a^{2} + 98439681241207598291299185152a + 497041063312515981800125536384 )x^{15} + (-234159209472481073822844602128a^{2} + 519827131159003542778961560592a - 508479127441382176233570358768 )x^{14} + (-453013392241487275187228258800a^{2} - 518186524872789636317874497536a + 99635964576510275189809811440 )x^{13} + (-9894735645390842491290621664a^{2} - 216171368612959484644902906824a - 293187931030167249261678676240 )x^{12} + (479543845878281094788846697152a^{2} - 415057525095418831067088552960a - 85192606211698662242299733152 )x^{11} + (-449212788475512773821041735480a^{2} - 608796939139941381376323333280a - 464863929704066644681487559672 )x^{10} + (-439021262497590484810122950896a^{2} + 399624693754464574133952669760a - 156856223338010590221247390288 )x^{9} + (-183319729387146599672236967316a^{2} + 248579503931980978913394233268a - 461405259845761478563351216440 )x^{8} + (-120442612220523028331008537440a^{2} - 212427650795635687549473353120a + 348404974182521300026071638272 )x^{7} + (-601225792848668698612912865040a^{2} - 366696984476972428217991380720a + 256902399307294221302133574864 )x^{6} + (14915622242744366994802019744a^{2} + 380291858091907130990926915840a + 274506955221424735010640678048 )x^{5} + (-366956344849396103091702650832a^{2} - 516577836876151565371174877560a + 494687164516338527973465329440 )x^{4} + (209805134678683461888258438368a^{2} + 20014691401516201920410735584a + 513358995987264362158465121568 )x^{3} + (-256228073956532377685743978400a^{2} + 46469706763298874781990011104a + 192507995419947392482965953600 )x^{2} + (-528834517368427675842606462816a^{2} - 435937467916092754831874235280a - 478526441727090224569032127712 )x + 406193748074078940987742650684a^{2} + 602240186319419324490138479300a - 28687571210009999706571670692 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary