← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (243940525378715201506979019704a^{2} - 123456191121421098059439254864a - 516030487263923863007326765808 )x^{47} + (-561512535515979390590783179584a^{2} - 404184815628411732439200390836a + 108761132920432657559891598600 )x^{46} + (297253364502070650227740974432a^{2} + 119543621010309512811078243432a + 486273178062599332022343880664 )x^{45} + (51623598317282677918049909824a^{2} - 527105628955950262603514913200a + 544407994666247369768874932512 )x^{44} + (228006445856503481825025606624a^{2} + 113825971952985419206808651184a - 433778180442801678485042641920 )x^{43} + (626976837234134607020657889884a^{2} - 349967337820362787683341179924a - 420709560347029929785151215924 )x^{42} + (-172401989223591576579827859048a^{2} - 343670583642814223390536684832a - 469704592987590892267372034752 )x^{41} + (-517153272323474404520945413636a^{2} + 621641764929382316558586566292a + 73583216695980367510575493212 )x^{40} + (-193956140675731187005200377328a^{2} + 362024820716310400932604695888a + 443542782525719177775292934288 )x^{39} + (-314323024183637296872278646928a^{2} + 310089618258090670686658799144a - 120940855934360584386170256496 )x^{38} + (-99313845862925518352275333776a^{2} - 98659973430946499734059294824a - 241531304282633272060731592960 )x^{37} + (-179136794961989117161302564072a^{2} + 356247846937257332197923619724a + 173289872489952805186020952984 )x^{36} + (609452489648381277432315061360a^{2} + 601603673560172623657823093584a - 52289195182060821703923931552 )x^{35} + (2509923794541645958790759992a^{2} - 72023215783355377085491467592a + 289252547719989805769866686836 )x^{34} + (-517701845346707856599197119984a^{2} - 515656355156661758448501180888a - 625442421231559502366045806536 )x^{33} + (436448052547869211273201904960a^{2} - 460470566733525053023316411186a - 40580236576311856911658804448 )x^{32} + (214484114494894295919527865888a^{2} + 493795753786250072328424387248a + 423782546564183379427652102688 )x^{31} + (272447128007364135267895005680a^{2} + 191348523335626685235434073184a + 350566311350892498041809177560 )x^{30} + (225677548007153538113559787216a^{2} - 291961060469933349189781584456a - 12882480597946955500046790584 )x^{29} + (-105090373124327570492546931564a^{2} - 546071574048934679610200603780a - 378600898762802115111921403680 )x^{28} + (608800294991129788020629731472a^{2} - 455889541034863021979639361056a + 344177943434081798808907168336 )x^{27} + (600785674390245706394317341232a^{2} - 446074178921810552619598625984a + 153795679164330777113590084720 )x^{26} + (-448059059390802940560396245424a^{2} - 613850118624988066829324419232a + 311834940609564964549941858624 )x^{25} + (-619733938058010028186737156892a^{2} + 539597371579794948265900923340a + 609372901693474655115741613836 )x^{24} + (-354502490346366665238880261056a^{2} - 430533456331580364769795445280a - 475504418668580297200843579280 )x^{23} + (576530789298122752217928352992a^{2} + 408500295515323692361794808872a - 562154264092986797262697996432 )x^{22} + (133867157833942744979851019664a^{2} - 359779320762611059202652434896a + 348502935623166440967137699248 )x^{21} + (-606541227593517917884009187152a^{2} - 395573426250482368530572863552a - 89492020050281741101694174304 )x^{20} + (528213562732230683443143358272a^{2} - 425600780155905590248557815072a + 437615813121626172403228015520 )x^{19} + (343595410602874705970543138712a^{2} - 313583395019244512298338362528a + 309441350812268449445553348360 )x^{18} + (469918054137732531222337601104a^{2} + 210766410823910127204333044128a + 45237610141757489317846249552 )x^{17} + (-452545222516109802746137137580a^{2} - 91375918919315493877996801528a + 577880455654644048194392100016 )x^{16} + (75380813868877039976916665824a^{2} + 515117374582163962952126476160a + 481236546425996222347490069440 )x^{15} + (176430949274336040148085668008a^{2} - 580929796939799407821987656072a + 209308970572207734209484569760 )x^{14} + (-313067178663865307556123476384a^{2} + 62209685704916212160074211664a + 359432646331125030311495875728 )x^{13} + (119737613506778108768961141528a^{2} - 633427059076470335449463862608a + 502718690337792550635188096008 )x^{12} + (304402752430643762670071513984a^{2} - 105146431044268027313484903008a - 228645777061706311066559549504 )x^{11} + (366983333589659357279961498080a^{2} + 528286321347748296820294904864a - 599542617830469905017833212312 )x^{10} + (69310061403866627973820968704a^{2} - 293561700389243630060560239504a + 403142007563972306859034414960 )x^{9} + (291900588551610963813522664832a^{2} - 47844142457995912976157003476a + 34894062112010887611191668808 )x^{8} + (-298995192339351898760188312224a^{2} - 612027367815028374682612004576a - 304206849567455419360843438464 )x^{7} + (-495201204109134120776502858320a^{2} - 28755363504604143354232140928a - 9632145957582630272937785328 )x^{6} + (-213844610429198252289436664272a^{2} - 507976622478916620779720788688a - 558702642071059940167162239120 )x^{5} + (43118345545659904713473642536a^{2} + 399448233141881406146838523736a + 204384086683669957388498424016 )x^{4} + (209697416025068635853143044448a^{2} - 582498296443828293914308822400a - 38580714917604287252867490912 )x^{3} + (369559164386786895606298682432a^{2} - 519463885033348549621289631520a + 266204562621826638752655704256 )x^{2} + (-355319111177762888323858704352a^{2} + 559603333769451375197815597920a + 400061624206667333343863254496 )x - 612005759741222447053465162232a^{2} + 131106231764459814012722949864a + 347750833365948638362343425620 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary