← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (243940525378715201506979019704a^{2} - 123456191121421098059439254864a - 516030487263923863007326765808 )x^{47} + (579317667531480761718814206632a^{2} - 61052270437331901784917748916a - 622266964645038092276306096096 )x^{46} + (146395933359810984021308204992a^{2} + 604175313456040986498188361688a + 218230505431519019443868929272 )x^{45} + (445165222368473999258270777592a^{2} - 37843341345421005579021481088a - 262688056583096824525898030336 )x^{44} + (605389589616573188889124965424a^{2} + 466871076582285030844565517696a + 632424628835325894114853279280 )x^{43} + (-457945344113814216238884819828a^{2} - 257203342462776842716101443324a + 510637371841320589610268159508 )x^{42} + (603532380147566361552787159368a^{2} + 297789668180367625212060830152a + 89392885223480703909603747208 )x^{41} + (-66480383970597111134789478248a^{2} + 241291059302791187197560525584a - 65521630618149785648606731896 )x^{40} + (-347943279355959378447534882032a^{2} - 610343779638890825865104641232a - 579490086612733202863981230896 )x^{39} + (617734604647767684554094285240a^{2} - 363654436322816425931245254176a - 222006602601433157516993581040 )x^{38} + (-208149389417429866012111861440a^{2} - 331802208591713313106311159144a + 338186876104792798358939236256 )x^{37} + (-539379527726125937706948639416a^{2} - 112500149308342160370412555092a - 196574629254442644794399696184 )x^{36} + (348838377007718870818482943472a^{2} - 452574108691689202934822988096a - 625162694733618760325360919712 )x^{35} + (-385203900390483237875590592568a^{2} + 493884455870604009075889881472a + 54828984483143894970678225564 )x^{34} + (-497426951116721450580734037504a^{2} + 614635535505992582655048562632a - 237502575062609623603894590568 )x^{33} + (-170447822517856051255014380240a^{2} + 43073662797974936641520031418a - 345807763391282071352446219376 )x^{32} + (509807766795927849104165376544a^{2} - 392536039980100499006599036208a + 278096976145498633933888278400 )x^{31} + (229043759805632582282921887984a^{2} + 503035661036450517959006827712a + 112282369385510723484592021544 )x^{30} + (-579914768754294684300814646384a^{2} + 628837669150963637546666150776a - 332141040795245895900531695224 )x^{29} + (342117315204697490773840142524a^{2} + 571281495670475483604481418828a + 337502833125344098481740755072 )x^{28} + (70221260207437733877785053456a^{2} - 448470068253399082175516898048a + 535770893939549555476339227984 )x^{27} + (-505183117348210184860465437560a^{2} - 67385341917799126438436811480a - 45757744651563808585166435712 )x^{26} + (-131399639850889807110281400208a^{2} + 445623481746937968998186180400a - 495772473495542482371406457040 )x^{25} + (318652803209500710510125839908a^{2} + 226823890500261675509727103708a + 245859600908416440521064985700 )x^{24} + (490581263969007084439355110048a^{2} + 545518294242470421211605329568a - 80428788423858620275232518736 )x^{23} + (243958137934393972400147130096a^{2} - 339580420553099940591133822536a + 306870846098517597636786320752 )x^{22} + (-134414439742652160845263911952a^{2} + 541447818023150592488543677552a - 79452694382694331129745388240 )x^{21} + (406960981346647849086341514072a^{2} - 618110618541296181047198880816a - 370094072661793959888162556304 )x^{20} + (486082564497665622631681857216a^{2} + 528069002305654671782293099712a - 557457590636616229726901302688 )x^{19} + (-627586254831475123503533456456a^{2} + 117686426800645741602329054816a + 329378745584262211137717367816 )x^{18} + (253801105789163252956334115232a^{2} + 109486044903160365701877652464a - 382234697318367195934723095776 )x^{17} + (570440122977754208416579026604a^{2} - 166650350296413508046812207744a - 434309021477349915629151078264 )x^{16} + (244862519857004365648002678368a^{2} + 484340418156240042383031631296a + 284682137625948033161970821824 )x^{15} + (225692375132664431656683210824a^{2} + 186482191665411233963270418552a - 455610976327349701706293889536 )x^{14} + (-114327235520454182332563480384a^{2} - 491015593695317044680631026928a + 327690726264741370007391003888 )x^{13} + (4927018042803504218183751160a^{2} - 211068056294508175592264493616a - 491773296451189342272926401704 )x^{12} + (311550241138719684927127642496a^{2} + 35917181581345059073429900224a + 387014961015919231996389311328 )x^{11} + (-82944536044732242291854710624a^{2} - 494822537263864682384125361968a - 577252237205207502144215077144 )x^{10} + (-109957410978754289072092283456a^{2} - 404756619606817937674031203120a + 107797318054934357305664729104 )x^{9} + (368757170044120387627115754064a^{2} + 531585699152707912285601003132a + 617921662559933271832297357624 )x^{8} + (515846984892105629306592472672a^{2} + 473820204524930542543263820704a - 632027824270075302378879368384 )x^{7} + (509925385164421906948278286288a^{2} - 361634725079662565773668875808a + 560914900928947487547930787664 )x^{6} + (487929563993480372989821699760a^{2} + 591878359954529550314623820304a + 73087599845593223589773258576 )x^{5} + (-517381267060986619811918491736a^{2} + 104941428171327634717295622280a + 575995912833823026601364765872 )x^{4} + (65905169907890358209455345376a^{2} - 593828473693996590948905301312a - 175477862086953362090781436768 )x^{3} + (-470798809340975795571294732288a^{2} - 599819768655285613105751404896a + 55043367046434319448382678016 )x^{2} + (-295237455378114190128539930976a^{2} + 69772039345022434394708579136a + 112162540420471520101672415392 )x - 364028029030150355388999149304a^{2} + 584101948850237451907703967224a + 531992004004516184985876205572 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary