← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447954336319681282002757279344a^{2} + 331409120318654973887948970072a + 633740190062762687547979840704 )x^{47} + (-481216253884018276714836707128a^{2} - 381108303558355164656737166424a - 83935930740696575819577038772 )x^{46} + (627386109283461052707148260528a^{2} - 591777890572813725449814061656a - 417427815148405764884707608288 )x^{45} + (-573430035511508533905120469508a^{2} + 381892475241793540643198192968a - 374842185374566499835858843804 )x^{44} + (478396329158521497361186374632a^{2} + 499958594235832438233297818152a - 493475824462401656979220750472 )x^{43} + (-122420247472941697971572774264a^{2} + 282104047772439092710919996668a + 381292513054348294414624794792 )x^{42} + (33661741580281609948500947680a^{2} + 320520844156105144519267507960a - 211836678474575513399937467600 )x^{41} + (-93302453285495695002899076812a^{2} + 216819083947410305600963502368a - 95170853341913750365714462040 )x^{40} + (563797222603306951883076656848a^{2} - 82284162096427083363771263808a - 487608585664420722725362999808 )x^{39} + (379491028162401250277739829920a^{2} - 77040187222683742269149536324a - 404493620573791444252429255660 )x^{38} + (609184031122148381064625787120a^{2} - 270560431622990383527013565120a - 25624207244135473479035420808 )x^{37} + (-484348197835846597521704274764a^{2} + 32225696191753738414277937548a - 116238811663346701478317485424 )x^{36} + (-611172361689702040704355900016a^{2} - 196438639410164505206031679568a + 396132545547348925086397457520 )x^{35} + (-387465574809330563082037436624a^{2} - 216762008731973129166568513448a + 186332254752917126470238958260 )x^{34} + (344714271783644672664597996000a^{2} + 374092749224221427994516821000a - 561532030127146872627577675304 )x^{33} + (33906758371488438000190482606a^{2} - 619893385218492166281318258766a + 151840191264301066036668366178 )x^{32} + (-572491430754451733302613755600a^{2} + 532459065113736885263247847824a + 610362769128816482462842746640 )x^{31} + (-597927129138937837853480124472a^{2} - 35848563134070160949637049120a - 248312974882553358032707927936 )x^{30} + (540388247297416276760324112376a^{2} + 288028749087614222213375236360a + 251757489316531720713764405768 )x^{29} + (-282660324792240857582587418940a^{2} + 524799947269114305409760604936a + 315553568264992925300183969056 )x^{28} + (-504323937736892548744000714768a^{2} - 217131283485958644364949854224a + 396426723449489177283204613504 )x^{27} + (460821357977227500879730994536a^{2} - 530874924941860894359605258248a - 378019765140248037227979906216 )x^{26} + (331530340509389130628596534904a^{2} + 600560843127929277862533402928a + 427193793613721118345617924640 )x^{25} + (-40775920623275465483897460672a^{2} + 440416854681306515168795666128a - 248480298195559962720255697104 )x^{24} + (481652878403197223447294775680a^{2} + 514499115847249554196679934720a + 402464060676054628200511331424 )x^{23} + (544058160301581007793751706312a^{2} - 260871934862009551989555418528a + 343961285141208178332863435320 )x^{22} + (100680379813556814578164728576a^{2} - 562267434106270166443210689024a + 605735252972364745360144881536 )x^{21} + (266643048394995008024597789224a^{2} + 2434031621913571466300292608a - 299250437025021655774144843792 )x^{20} + (437535853817662291239740024976a^{2} - 328575899155107480714090632336a + 560784892611287664340897916000 )x^{19} + (461744014934489356513487029512a^{2} + 330498938168439286092390320216a - 414789833689012088646868987376 )x^{18} + (-19417510688247655382758713376a^{2} - 281740392218338697107895003824a + 221108133289194877508498820704 )x^{17} + (-353073124300658640415880005672a^{2} + 159660718878748242784458537404a - 383283190943219667138972180716 )x^{16} + (-558672095020581862741002694752a^{2} + 425503846671718158904541099712a + 387478851524446840947039549504 )x^{15} + (303732334371029235952512014960a^{2} + 52074836711629579765980745936a + 608923637244874905031717349360 )x^{14} + (59453815266971586193821509232a^{2} + 307574444071421211021601936768a - 25905357311396534985232953136 )x^{13} + (-608486413542399645941895578272a^{2} + 365912494627286249495121007896a - 471816251760604409111326612928 )x^{12} + (-225890700495431422778276418400a^{2} + 531956899252671821535739162464a - 60349826134519279958837093984 )x^{11} + (157816494041496243016685648344a^{2} - 167275360392313529795535159712a - 60348263073006797842056574968 )x^{10} + (-592088194732452464558964679472a^{2} + 447773735489582800246005032672a - 16020120002151660524153862832 )x^{9} + (31905819478598613896938468700a^{2} - 422045883242528385571675107532a - 487774272730341984255369699000 )x^{8} + (485498224554262279344201165856a^{2} + 474445715124795182534478588704a - 499825443495828099061298827840 )x^{7} + (-258827783122037003168154959824a^{2} + 330705625794068940428183516432a + 85189155240307925927653281264 )x^{6} + (-533365461416761622130810861056a^{2} - 501129397061342377692016266720a - 430125574848937593823281351904 )x^{5} + (246151004701750430082476970400a^{2} - 334119111368717126303896431464a + 276808642353736963121802323424 )x^{4} + (-421468407129392336065064243936a^{2} + 485143811112911409903939067424a - 535645219473882691960036158304 )x^{3} + (-381063790342118387301331190320a^{2} + 198178430959073132440003417424a - 470485180834633041019531297136 )x^{2} + (224969182845511359093845759264a^{2} + 91624570641336658343170988176a - 517510621987004614353564864960 )x + 461133565255392130107340557692a^{2} + 227610291605042790775691192196a + 626994708805133047212954050012 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary