← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (243940525378715201506979019704a^{2} - 123456191121421098059439254864a - 516030487263923863007326765808 )x^{47} + (308097370892029880116765379344a^{2} - 571977911054355829681793705356a - 474218723707929903179828787248 )x^{46} + (-322089746250719073969417936336a^{2} - 593888277467753909162269069032a - 209270943987596704845187123768 )x^{45} + (194931594461246073475214790192a^{2} + 407869599106250337618891275552a - 383468021479394873219359438256 )x^{44} + (411207017661971389462965697440a^{2} + 49429165707964804768191716208a - 617208383561904043020116101152 )x^{43} + (-130021389483110200102473413572a^{2} - 242902759998237415963251607724a + 519687067923229267543877841860 )x^{42} + (-600584835547848351939025028336a^{2} + 215885838515950089280704188664a - 495367827073299539651282927168 )x^{41} + (251281023253472396338610540a^{2} - 88700993419472566131492460620a + 360440028568634043485951659512 )x^{40} + (-439040239525912515462888260816a^{2} + 581490400696721209465289395600a - 95361981585166591607461398064 )x^{39} + (-139039552426742809629996775672a^{2} - 30129660603239869687917609016a - 364271868601966545267229283560 )x^{38} + (-272468421318278086295069681472a^{2} + 486436083256994603057851324600a - 420271776875753763446224277728 )x^{37} + (-72438097996240138192235545520a^{2} + 515298031333273373050054956124a - 182593092617238628294956390704 )x^{36} + (611878640463704256343780262960a^{2} + 560996303181513285290843881088a + 388542549406364657760571732432 )x^{35} + (-600256466529640066743920894728a^{2} - 500559652122447850445248712328a + 36892820475599387642581492244 )x^{34} + (225889972775285871500741398784a^{2} - 448985320012168134659728762456a + 363183597932648619495853884408 )x^{33} + (-122981118699262350554900595496a^{2} + 30170285257412215248477040250a - 297072876510427951588363753620 )x^{32} + (467128471138270899799943046016a^{2} + 344074481112918145917305937936a - 479362278856971311855822007616 )x^{31} + (-493061387697980322317847377984a^{2} - 527297395795032781356895272576a + 494117290311275513763649108168 )x^{30} + (-366895346398364114813739632976a^{2} - 240338371373823637661489351464a + 223748097289116764257581309768 )x^{29} + (-597281149986537070940152810116a^{2} - 27033280108208735714886865108a - 155357407467108333566095595224 )x^{28} + (255291948780478219118540030512a^{2} + 222344116752779612232835781088a + 485111104214650046681894446480 )x^{27} + (413170508559263312328665257592a^{2} + 106297375934707158360336446872a - 486636566214854693988739782088 )x^{26} + (-499768197627495740464716030624a^{2} - 401578727513600381767851073200a - 472497210296942461181012599136 )x^{25} + (370675130738312951637122851564a^{2} + 352796563329295363826045161604a + 527191117076788678154339099452 )x^{24} + (138255381762735126790053909408a^{2} + 343060265474737319799977681536a - 165313384684610461544097789648 )x^{23} + (105398393085452181965242937984a^{2} + 144333739096401250003388238136a - 396683907902819123484464197040 )x^{22} + (521711949788473165347059447632a^{2} + 72674929426701102256859778864a - 32939268114452183559111030640 )x^{21} + (-604554247631007478965584221096a^{2} - 87285198678287162826131441208a + 146907602442286146804449535280 )x^{20} + (129568510969067711146120833696a^{2} - 54113822447616664689628736864a - 51238657515580722240953727296 )x^{19} + (250516339631609122443681167448a^{2} - 384811768310562809670980466432a + 493521884247439776642688699320 )x^{18} + (-446329954906481595516280155904a^{2} + 263929293382684215795764831328a + 232617229616867506350252262912 )x^{17} + (502182396724922714122161070004a^{2} - 511994289596306585673757386616a + 615922075829711071544726614104 )x^{16} + (-512999165530477589441786074208a^{2} + 618611031818672320921837470848a - 442324630027758790043118203712 )x^{15} + (-327943016224409969525333041656a^{2} + 484391498932285553268034449368a + 114920388619837061493886660928 )x^{14} + (361734054661631773043368388288a^{2} - 468570807055176800083338959216a + 565649172976382177825887346192 )x^{13} + (402582004074719245618363844040a^{2} - 480338090630866897262415272928a - 588569511806879082375173444616 )x^{12} + (-390818587282830740580879170912a^{2} - 269742565584801853942287936448a - 305549324147520626463873867808 )x^{11} + (310288660558396329593593606768a^{2} - 463675841611457449496310666816a + 197119281563922638241001072424 )x^{10} + (-174588463642076893546594267904a^{2} + 177756036785422899511269086896a + 264806013069712370374907612144 )x^{9} + (93354963161579754683845051728a^{2} + 509191479130729790457176331548a + 429864518832649796496154005976 )x^{8} + (-183265250822843210728101635040a^{2} + 200174846673271435839986559776a + 576641486570362108263956128256 )x^{7} + (-479313421383823825951077958736a^{2} - 29408177455358316377309410912a - 302647012011444287120449551728 )x^{6} + (44624515147186140764671788112a^{2} + 534513642754633337592826218768a + 116662630489199598008283824976 )x^{5} + (-598061519762961196390082757240a^{2} + 332526474707032802723344340312a - 20893397547723710409978835824 )x^{4} + (-435552366815740453317088835936a^{2} - 213552484032998425359086396736a + 274149435369641044757784769504 )x^{3} + (184703854855228913830719174336a^{2} + 18550933724005725346103200544a + 463580852177149682696049717696 )x^{2} + (594992582679081198648847391808a^{2} + 412187186781219412750609270048a - 101076613376097837322879396960 )x + 97419229355614264333554911448a^{2} + 383695721043901787397622456088a - 173304481782235206079887685724 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary