← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447954336319681282002757279344a^{2} + 331409120318654973887948970072a + 633740190062762687547979840704 )x^{47} + (500149188361060054034272187304a^{2} - 589896344400187165244375073760a - 324450356317886718315425437252 )x^{46} + (103839607604636808208068458976a^{2} + 556020907542132324355359333880a + 305973057574654094205037114720 )x^{45} + (-179142098124676828109517703780a^{2} + 97772111520403286802644726136a - 255361659655037424038290212412 )x^{44} + (-218560272889928594796998639080a^{2} - 627220054553836391093753424904a + 584528116102241733633657139576 )x^{43} + (-601644132267692510290192932832a^{2} - 4401462170511822591511593212a + 342309470622479861676427225864 )x^{42} + (155748993827488029405118517224a^{2} - 496281113715416744518079222896a + 131915653352729797978437763160 )x^{41} + (-139656159664474771474128257552a^{2} - 326577571589042839246752541184a + 608599526344591728026145371500 )x^{40} + (-31132506579944508080751102096a^{2} + 112772099686062601940054558560a + 308312799790040051486104859936 )x^{39} + (297761290900012743848773374000a^{2} - 457320273193558949690027372532a - 487587219084197528681830939868 )x^{38} + (-362725117109683810136527298032a^{2} + 338609423069339057145229873152a - 477049180749404231477870399000 )x^{37} + (-468921222828397988738637798180a^{2} - 124684992997108536113413268444a - 235655970470723679997452992752 )x^{36} + (-206749522876945722072660418640a^{2} + 596658776601191824326029233808a + 435095552349151920569871181552 )x^{35} + (594201389967906019623540946384a^{2} - 454267122823429811766173555800a - 318932511969540341507291328716 )x^{34} + (276671063471632626042611970176a^{2} - 104546728106671475804511726232a - 432043180839908197971286653336 )x^{33} + (357931997181814831856263069994a^{2} - 557578579666170234791250480098a + 58308981504887241114189102530 )x^{32} + (-576229615315165619755085432752a^{2} - 6270277449540544416101280944a + 447669631993909895605799804336 )x^{31} + (-506460407605879168224754059432a^{2} - 9574667900162393487593243968a - 472662180652580846718302822768 )x^{30} + (582280202864385853204943867256a^{2} + 472647031155764136603639865096a + 193342480775639012316398751880 )x^{29} + (-90258332369422055109056650740a^{2} - 369719472872937636611808418400a + 103429497145180925507960864080 )x^{28} + (-474940677068919369217492199440a^{2} + 429176303094979711577702584944a + 308197808252274337546896080480 )x^{27} + (-591978465399840352359369788136a^{2} - 463271876890684241919019941720a + 440726897956931153402790197800 )x^{26} + (-548429413478946257435248123064a^{2} + 122392634899931895382831446816a + 398794818560633196586871762240 )x^{25} + (420819590961074887552952467536a^{2} + 25305035610646459169790529784a - 286569310813657693872689792440 )x^{24} + (447950379033085800898197485024a^{2} - 523185519452435896541251897152a - 80987338295093411876051288128 )x^{23} + (170065505210022194287181385128a^{2} + 436233026755293225485026593648a + 410122740302716905927198745128 )x^{22} + (-129985311413092411929067184864a^{2} + 391978160236669401571633219968a - 150187093422294303632335064512 )x^{21} + (610148949763889531362410972392a^{2} - 337353724219033386008118947208a - 369437091648814168342245234656 )x^{20} + (-618044425554371584727140719472a^{2} - 41185215019315974945723178832a - 82285774203239557753130383840 )x^{19} + (47557145394257835780130042952a^{2} - 519436252720163697863264508312a + 420550709140160343082327579136 )x^{18} + (-546434719458221875877476701888a^{2} - 427299049308694513895862400400a - 376185037252969837181186581664 )x^{17} + (274189294822617927138758203360a^{2} - 271918596336704664320531299212a + 581174534215209112533580417372 )x^{16} + (-204717862907435690783112978976a^{2} - 421014696862412324035341852096a - 573917485789169551063405009152 )x^{15} + (150765732765732934943947048976a^{2} - 323808137934956180909717426320a + 544392221567859716979935711952 )x^{14} + (551946803326132056561812848112a^{2} + 602733940216428722203804910080a + 364538858059337159401887123856 )x^{13} + (376498093317366064816610605856a^{2} - 20774748551061837196942122936a + 298510597786828486188034260576 )x^{12} + (-150598842414717127844502545440a^{2} - 40436947919747327738593722816a - 303423122304399237078877917760 )x^{11} + (-96674704289574947054878777272a^{2} + 224920964107987874836586404784a + 153363623044447289427801545208 )x^{10} + (-92850164764927017554202986576a^{2} - 3540537710949941022417999648a + 167732427583471123456265654576 )x^{9} + (366785374299786887063673161820a^{2} + 333776012064239860944707051444a - 467763025141965842260125970424 )x^{8} + (-50839853036614315366762748704a^{2} - 529445443413365684722461622368a + 221079375794064178498776843712 )x^{7} + (501828304283991224485475793968a^{2} - 139585391612335043751158106416a - 211801077591496332291448018128 )x^{6} + (-562972225705602368460009491072a^{2} - 254799455324550024075398093632a - 437602381860083062737355522880 )x^{5} + (-529930955800301507141647422432a^{2} + 46807169063748860442611467784a - 332791723264726897035015103456 )x^{4} + (-454893027250900581077384444192a^{2} + 594767881813250776945820002528a + 340162853345360669878090074976 )x^{3} + (372963356313957061608805104912a^{2} - 534095871999659255830938219360a + 316424346727897321482276005072 )x^{2} + (-632038193492670703660520544416a^{2} - 5961697353193148543281281232a - 122387681374180564382717701952 )x + 340711904308179438643596955644a^{2} - 545448932707680554775199505580a + 70532871157402605637845225052 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary