← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447954336319681282002757279344a^{2} + 331409120318654973887948970072a + 633740190062762687547979840704 )x^{47} + (-575326301338597122991812585456a^{2} - 633036344940070843381295471888a - 374004619320303884446765988148 )x^{46} + (-83375543798813825725216721072a^{2} + 354835454958630742480918125640a - 314781995305132252258157723024 )x^{45} + (-380244174130664962469152536780a^{2} - 136394866606138568666319025536a + 39501243949861600382083695372 )x^{44} + (31142506648782477550368994008a^{2} + 196616599171621518308950822696a - 60253005587307458656805675480 )x^{43} + (-447831691424504773546787034520a^{2} - 584234176509594072084688518484a - 135337794178781869921597003608 )x^{42} + (-152134280883449837951800050232a^{2} - 548131847254945687864359127808a - 47314657500888151999651610448 )x^{41} + (-72875146890589975227200025060a^{2} + 492329697432901890839382034704a + 65633595117513362367063105804 )x^{40} + (-44470483822627482438320417040a^{2} - 352759310097509352792833724288a - 155353639858856124791272579872 )x^{39} + (569322545067354584709794543488a^{2} - 431940353527760538974394840036a - 42565534757419001835352604108 )x^{38} + (51992000049341263459298192880a^{2} - 410523908521824331482026091376a + 407651010680815856057296658344 )x^{37} + (288719480899088442661434814524a^{2} - 139630004164582697620709456204a + 6596709222812612139563227632 )x^{36} + (283230446309641465438543624656a^{2} - 628761964855176323861454681808a - 387286203438178797272282901456 )x^{35} + (-260028762599534844476649814480a^{2} - 582644229386172120223840706536a + 513069432937278651648075036556 )x^{34} + (-68028350600722163376334192928a^{2} + 362793770717103365041454847368a - 427032139269746533185721460600 )x^{33} + (298450282560437935041124389642a^{2} - 343435845973785930005937078638a - 383186585461111941765792347550 )x^{32} + (-128092688650067696871119345808a^{2} + 326908594525117183350356665584a - 145874741044293483940289122288 )x^{31} + (-295662979047839140269736413128a^{2} + 400176038774912909210389578656a - 470062822890713146629314552880 )x^{30} + (-591765520637092684276924230920a^{2} - 162740564276525624223861260600a + 34230064304524653980939058728 )x^{29} + (-2293998877890063782542994348a^{2} + 263033014819445262657998309592a - 439398598607168082806395462336 )x^{28} + (49055115925393751302331415888a^{2} + 338056415388202100789137467824a - 103397406137293334496098484352 )x^{27} + (-562212626887432824078176038616a^{2} - 578009670534917427920827255000a + 405946819674117705820479044760 )x^{26} + (102026921602277959828132276280a^{2} + 170656648888249903792726062592a + 268512792655125252544386588720 )x^{25} + (-546704463007357442984958926432a^{2} - 103559289493210585167061497640a - 497441119858660033793477451880 )x^{24} + (589583386063031162540305382432a^{2} - 494816696270803001656167092256a - 289879754824588748868576269792 )x^{23} + (-323707647923691661495203994888a^{2} + 145167711365125185085606635632a - 590013098286362822016698583320 )x^{22} + (337935491909282823243046387296a^{2} - 154368172699337867680368355520a - 235617464911854959058348484128 )x^{21} + (457124905699237776739897835632a^{2} - 236823857678079349173156925792a + 327080827119178393822372848080 )x^{20} + (-268857424375674627097835991120a^{2} + 298604495225910275934466288176a - 340983230057420783506308505024 )x^{19} + (-505152886055482444834235828696a^{2} + 285777347493692944040339310872a + 259439027723511140679727092512 )x^{18} + (-534928658441367801427806453888a^{2} + 542687385905775040684448969328a + 503532260269983429963409520352 )x^{17} + (122640068455398786404115380240a^{2} - 457921776863859790396286911140a - 462829528074513016282411510260 )x^{16} + (47496817177426863328129612896a^{2} - 268265311325024156923859597504a + 91637873371035318138575582208 )x^{15} + (-593786227686185745731972773488a^{2} - 164118613532629523425662595024a + 381760717230679969926649390544 )x^{14} + (-442217600381887709599675976240a^{2} - 102552789811531061335186537440a + 443057293664754259975543579600 )x^{13} + (597936354320372784369049059216a^{2} + 396681967568097083736657385160a - 163261490275836469184359272880 )x^{12} + (89095570160619249929902096960a^{2} - 48134170099752762162070221760a + 9790934839076279553879919584 )x^{11} + (-265456640531037462498799361048a^{2} + 363975293754454857476304171472a + 429133056330010231050024145288 )x^{10} + (-368590121208904578902233630832a^{2} - 89207488196034971835463553376a - 356435259855165094961337013488 )x^{9} + (371119071994014521806452868556a^{2} - 126738715246899534844749943916a - 344912501204056211715263653656 )x^{8} + (231582854480699243638440378976a^{2} + 98428508981638828811840255648a + 577998809304900693150096653248 )x^{7} + (-303189336854423140980987600848a^{2} + 52834649810570637168948448944a + 471643443856633119475907801776 )x^{6} + (390167015729400647085786218816a^{2} + 465438940289750009928555576000a + 102957348674647212955765814752 )x^{5} + (-191032383744037495530380610896a^{2} - 46186628921321368959217487320a - 71459795995830711567002687088 )x^{4} + (581164998277357337735157647392a^{2} + 250890686341072420885899447520a - 16198362260789320089158723616 )x^{3} + (481345735874111952902298343856a^{2} + 450115132522627562398817293296a + 177512974034959915353831134880 )x^{2} + (58516692697404767919596512160a^{2} - 223855593212232843787297488976a - 421946819051236308112226517728 )x - 132144317827538611497554159300a^{2} + 463760674229746578110535357076a - 610743737444097254870417938548 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary