← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (243940525378715201506979019704a^{2} - 123456191121421098059439254864a - 516030487263923863007326765808 )x^{47} + (-12077460961948434885837065192a^{2} + 110916071882477284650370666524a + 77196818042316045197720166664 )x^{46} + (-134426918723362325018557420432a^{2} + 579013365059757350780009403640a - 373638329458040341310714776296 )x^{45} + (203507694095496434611341513800a^{2} - 285810262823256193961997059328a + 596276533118053607566476906408 )x^{44} + (18613722427567860137040378096a^{2} - 72159238571763888126394989712a + 181964677728723323820025558208 )x^{43} + (304249413621729877567861246676a^{2} + 201536240237252342917135299076a - 173090826442753535787980027060 )x^{42} + (-319071956425261048880835422400a^{2} + 330662712382828779888215649280a - 265436419912268859714187410672 )x^{41} + (-208353817899531062709264316a^{2} + 64767457921013010037096941796a + 220871171413864290356510931532 )x^{40} + (260915853672732615166490942096a^{2} - 520064303262604040816937807632a + 555654149476786730514687741424 )x^{39} + (-481598579462531177902211877736a^{2} + 494997742042539834257346163592a - 422669261295654485234994912208 )x^{38} + (-540317046311500816933644338176a^{2} - 4313916409127945259212691720a + 205037974707193035083631503856 )x^{37} + (-515118776360424533318760363120a^{2} + 430150526685736420867868057524a + 332656123525795324733740081504 )x^{36} + (-343387715527185368953564602544a^{2} + 387524915725054867475899949648a - 20835234088275318253083989856 )x^{35} + (617922021101820116730188834368a^{2} - 470075128284206384460199381248a - 141809791602617207413685030412 )x^{34} + (35678936339989406914817961520a^{2} - 415198083105252571075794722488a + 114477285905832201407476935720 )x^{33} + (-217054119620354782150396738132a^{2} - 150017486790614180528399218562a + 432803357777816009128569708404 )x^{32} + (-243363616188074663520446636256a^{2} + 251333360836799892750815832720a - 507136558771627519832576203872 )x^{31} + (356426762064614403819051466816a^{2} - 590012717317839908460510703136a - 227540492617302772126688468472 )x^{30} + (-545187504231826822057547067568a^{2} + 352359821608241146988794256344a + 399271494941184692056180751368 )x^{29} + (530678080765102704204108143932a^{2} - 369456049127083294975495293788a + 633296174474424162368959053304 )x^{28} + (611477358748572884668594667280a^{2} + 8804712546643033817027932000a - 532954948062600560998099399248 )x^{27} + (-420149892136015164854601646384a^{2} - 16068628396583474852491437432a + 497041061621687234760808574168 )x^{26} + (105861750241603629510700643200a^{2} + 538030078047946512728941329024a - 433293871574592395480683706752 )x^{25} + (353674497266799711541954783164a^{2} + 489169347368684281045312772492a + 396187049568839158498988028524 )x^{24} + (-149839216529867226449935567232a^{2} + 435245049879860447162617112928a + 348973267538747192691103118992 )x^{23} + (197279292096340365550513748336a^{2} + 576689468022509903424297038184a + 534620906864528310965582100784 )x^{22} + (-139300598309257840628667366896a^{2} + 156281274681458052539805779184a + 337331220518885994046915461552 )x^{21} + (-208587734502229663603168603808a^{2} - 140642380393006842940501657920a + 580797199666205515264134743728 )x^{20} + (-22156005684373871467706981728a^{2} + 327556519817005048627207812576a - 128733928818230752862568308416 )x^{19} + (-405058777607507608598810053016a^{2} - 431127564458395056311572034064a + 293249548255566877699902563192 )x^{18} + (-80194104031863863790686125408a^{2} + 521362691991684647861334611344a - 320311701847785319614674041680 )x^{17} + (305798395346948258316585350052a^{2} + 53997608917721613122985157400a + 468087384027272475050064244144 )x^{16} + (-374947911474231294116867179744a^{2} + 622966681055914022393944478272a + 1880847736062801803914430016 )x^{15} + (95844078901642190658073070056a^{2} - 12271289568807709170318262920a + 156523744346944887230405830432 )x^{14} + (-560694947800118808197048206112a^{2} + 628053464540632091469411283728a + 381123577985869633470706844208 )x^{13} + (321075175158633411295851673256a^{2} - 483731252119891085356105507344a - 216825538957633440838369515512 )x^{12} + (-617714388110590280512254873024a^{2} + 64506485334090235352542711776a - 475474266545973333242919916736 )x^{11} + (-388495366822487844143425629504a^{2} - 478474507364789209463018127744a + 274305176995172040972353501496 )x^{10} + (140483474468717667496381597824a^{2} + 259024344649881608887838107952a + 352160720201696136878734703440 )x^{9} + (-374667599620081762397507985616a^{2} + 164924747022913861258538330908a - 245142923386890362878306823864 )x^{8} + (-503071721596662065543275826528a^{2} + 533605640487553908494091233504a + 114906331317554806838039799488 )x^{7} + (-532388101151250582531649878256a^{2} - 350308566129463024889169357536a - 289458807696576091062919801680 )x^{6} + (65559992918183958326958739184a^{2} + 260550972750392964641202411408a - 296107618458693707798069581072 )x^{5} + (302469652558786011070251630984a^{2} + 17596884696853428031369401032a - 457311068370026204472173419840 )x^{4} + (-506740833938547697133777358240a^{2} - 36985248049835099644148914432a + 249704312155838231193069796896 )x^{3} + (-224923787016739038609301917568a^{2} - 96201379228033738728212568320a - 586458617952643502689848069696 )x^{2} + (-608757434137861209075468935072a^{2} + 263139767124483820644085611552a + 69570641052210324201768146304 )x - 520253579621670663995550994360a^{2} + 49660147736408316655543264696a + 20270592277510454742850992612 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary