← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447954336319681282002757279344a^{2} + 331409120318654973887948970072a + 633740190062762687547979840704 )x^{47} + (57545084208043316998567252800a^{2} + 84908587907700737435226918520a - 252067785711448536564345438580 )x^{46} + (366228692629224223401802452480a^{2} - 166900927599657316160480708488a + 83791944698970125063755607984 )x^{45} + (129504419787766929461559302388a^{2} - 319985510726108825140297578928a + 432121280020626616672567245948 )x^{44} + (-201125721372478574844027104792a^{2} + 425064225263039058196684214200a - 367801116145898868742105769432 )x^{43} + (-433368478127535385443751292608a^{2} - 387371905810471092243808466092a + 352903625181406476420833260824 )x^{42} + (-15193790610992502932080973904a^{2} - 623995349277600375986817018456a - 383244983615588121172058239528 )x^{41} + (105497825499274564085339706064a^{2} + 6998486867619464751949962688a - 237545432739875243042804600344 )x^{40} + (7200762360011517395427577808a^{2} + 632053734658298412622180689056a + 334079587033350645763173693120 )x^{39} + (453437630777551265584895406064a^{2} + 212959632457773759227724713676a - 149448290780651235579349084316 )x^{38} + (505477576051610265916580225040a^{2} + 165832484090547404067758766832a - 436767620955314680453236173896 )x^{37} + (577537069203654816177077985380a^{2} - 102281751581230992114739333284a - 114594316050401886527508251696 )x^{36} + (-469801921018385535302144416752a^{2} - 285381703510451606266488584944a + 290985991688762912606379007408 )x^{35} + (-136972495476840694589606094576a^{2} + 276551977592900863639231061512a - 3296509383807296987477525332 )x^{34} + (-56826603316364919781754255008a^{2} - 568975615000716821278132052792a - 377708975769024550622999299720 )x^{33} + (309355386607664921399065934830a^{2} + 445940772915861044450497752278a - 34133166349356839680636786670 )x^{32} + (198143703750149166632492855696a^{2} - 499652607928727644717820129104a - 170922622882717414027032524816 )x^{31} + (-574705205438200321123907386072a^{2} + 86214219103329493995759316320a - 118641527907141076665681360960 )x^{30} + (193008569056736601363386035512a^{2} - 484272085827065661589646925624a - 550745341412218533199343419608 )x^{29} + (-611191201692283976889898033172a^{2} - 133916807029516714170018713312a + 205163452195258764356581221328 )x^{28} + (406201263393157125781488922960a^{2} - 30358027555595437016757644432a + 508957775233721422564888549856 )x^{27} + (-393095228205589772197386876968a^{2} + 441425887692248762373682541176a - 122963696869253685963348832824 )x^{26} + (255174122453101863199255558568a^{2} - 530272328945469636821023232624a + 420428726957509292272974764784 )x^{25} + (-132218639786375136342912495920a^{2} + 391066599514579780272003647856a - 421302148636541170982299888144 )x^{24} + (-441592474670070915123813679680a^{2} + 369852590664079029774639118880a - 429763790089051381902586714688 )x^{23} + (23129879306477758088414252696a^{2} - 252602211353240757842571456736a + 380483886551332532524562478808 )x^{22} + (541595148726735598895060140096a^{2} - 409434180060439119900641383680a - 334992511795344596023173129376 )x^{21} + (-57438414609148808365257961376a^{2} - 136433690928241659568509418344a + 509171743692274162341029512160 )x^{20} + (-5694913232055124633673022352a^{2} - 158090062532466401262136237776a - 450498401959087173432559903744 )x^{19} + (-352250999834651295738737980856a^{2} - 481383261467367983216871153400a + 110801644498136128064894897040 )x^{18} + (490537022762579812096829645568a^{2} + 166425474462513167216753914992a - 415123213128574052880065268256 )x^{17} + (-111975298200766600280863425272a^{2} - 102317287772210867072516962188a - 371598245778203770797382200748 )x^{16} + (156530311032049415919280868896a^{2} - 39457651083396055452970721472a - 511870100424255495865469526464 )x^{15} + (-415216858567323041212368920208a^{2} - 202927045021795155856888014640a + 266864162035305675543901822832 )x^{14} + (-186168693670390717075320558576a^{2} + 134373521947743248255961831136a - 411525161621980862013082718512 )x^{13} + (84003645273259910776712495120a^{2} - 561345843971613405988233363240a - 488734755333538292475652305392 )x^{12} + (-248836782098952866182483301056a^{2} + 201448909654599399248997910240a + 96796867342119731451749803264 )x^{11} + (400612659889049922755917996376a^{2} + 399958435348769937890055963808a - 133958626860311885520184625384 )x^{10} + (564546066624126750541228188336a^{2} + 174707648541991421094539390176a + 463425457065157195506758394928 )x^{9} + (516164076730234902769854991180a^{2} + 601833429432784796638522266516a - 402295223972881369989484782296 )x^{8} + (204372823754944836560344050080a^{2} + 413349881566842655028839910432a + 426158749395346457207214964032 )x^{7} + (-297401051052565102861029212368a^{2} - 65526762622514989450888377296a + 552438038833534928280195404592 )x^{6} + (217635829719077041931074815360a^{2} + 131142674954344081216958470496a + 437946430157273943677915681152 )x^{5} + (214030772850980665974841595568a^{2} + 49758247346687131871256780152a - 533210184000260099588443253712 )x^{4} + (263007580215622602674611721312a^{2} + 241236719426924479208916610464a + 598587554391456192970223882272 )x^{3} + (443851028305702995344330725008a^{2} + 187415357354836229581811959328a + 593724410953151093383658490656 )x^{2} + (-51392344181360026350788178976a^{2} - 111790707069618371038866937392a + 499768748765078723234369603104 )x + 623859306131428566956076868092a^{2} + 206834740594526733380020381028a - 439950702710512609711904476948 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary