← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (243940525378715201506979019704a^{2} - 123456191121421098059439254864a - 516030487263923863007326765808 )x^{47} + (204335360800750625439990998688a^{2} + 4744818005090159919581909716a + 624472260902003854250672532600 )x^{46} + (455775200437644410368445708256a^{2} + 455806690155035063209575891288a - 79449642414927543056520806840 )x^{45} + (-296160749610572903951448892192a^{2} + 600312820697231152349287574496a + 442871722115237994938039706200 )x^{44} + (250212068451401346779211999008a^{2} + 382417467195132019222014359456a + 539457957055063490690821936240 )x^{43} + (104885398227940520859744005700a^{2} - 619454145438521675215705405596a + 377825843025262765925984317164 )x^{42} + (253026852476562565469639057144a^{2} - 221077141362435804867539956720a + 45206235342624071859818910376 )x^{41} + (-271804531504605157393482921488a^{2} + 404932845478703739206333288624a + 579292497120596673416980884636 )x^{40} + (-4392373333684284198235155984a^{2} + 626126890451258348098828421520a + 999394017183814722966812400 )x^{39} + (-30437964947643663888943956776a^{2} - 473425298535628117665615551824a + 4750424140175134310672724088 )x^{38} + (-340621668736077619998659184480a^{2} + 138420952590526556411625407288a + 282626813935204370953570275376 )x^{37} + (55806448227270263493063805688a^{2} + 280419891629737505731663741876a + 31324451121046669114225645400 )x^{36} + (206132718779594862739961446800a^{2} - 143346958628306520398075453200a + 173481351303129912810825086512 )x^{35} + (-217569947159934839803092726720a^{2} - 71811709831672674484158090152a - 607810257649993261445788098036 )x^{34} + (631137322657302538675560314320a^{2} - 320018791904604085082956020536a - 504700625530600241610950015352 )x^{33} + (613648302686283796477941807812a^{2} - 426655602450785170588553192978a - 2891724781211018607291309672 )x^{32} + (497038217303492777671264288960a^{2} + 628439736698314371888813845392a - 381595148659192806406677873120 )x^{31} + (-62528426394658287848002893232a^{2} - 255755440904459184869124563680a - 207327074492807168352756413016 )x^{30} + (488204531403374165527463869040a^{2} + 26236120871296475148544173496a + 930596820496830182330570248 )x^{29} + (133294355054059701958389239084a^{2} - 220409402562266372489527035852a - 83361680916346488298535881664 )x^{28} + (197894452635275555007256249328a^{2} - 532925801313896778186445083840a - 496133665702975551799056572304 )x^{27} + (-89461133255949998997076485760a^{2} - 74843424869521912404826984504a - 556675786887518415979023961088 )x^{26} + (395247972947412678237341445968a^{2} - 562448020221825551844580527616a - 337879684118589413829230314480 )x^{25} + (607612944892085070830313805060a^{2} - 49217956769121298205643219964a + 109084976304795217799082627844 )x^{24} + (563703689241085694434812769536a^{2} + 452750314696762921327046865152a - 416800504785981971531915745776 )x^{23} + (-73844882213479733438165187296a^{2} + 340126329006357628343375427432a - 180164963008172632139429229328 )x^{22} + (-278947150308056451679304380944a^{2} - 465907633002551184607970457360a - 44236698864897061524562814640 )x^{21} + (-32426647066752307047378617136a^{2} - 524018869966231715217172262088a + 440482909136242106619153844336 )x^{20} + (79105545537235395513377561152a^{2} + 300005597226530396902240375808a + 412096964956634312439357777312 )x^{19} + (-72397707175347685371495182488a^{2} - 501148988044669914501332751504a - 432821653039950031133078742552 )x^{18} + (35445803527770674677987461440a^{2} - 300677734017685470289833179104a + 526033188530235074318251751280 )x^{17} + (-250993883720669581623090400692a^{2} - 585934473102265974119132194480a - 209683051525112966239749888608 )x^{16} + (-385505094030083409839698934432a^{2} - 90285462742938930237105093632a - 620893094208403512822479244096 )x^{15} + (-199832760013827866146920252056a^{2} + 205043968287205258637337410136a - 82457338720775702319513135840 )x^{14} + (161282129602549218188867048288a^{2} + 233448695669617026888972076368a + 587786999992331800463407359632 )x^{13} + (151275877109256746787015716696a^{2} - 337360672523880599269971748960a - 49482867707939075192156383512 )x^{12} + (-148702332477041431617123693472a^{2} - 150130007739838623103639773408a + 457132580552609998760342283776 )x^{11} + (379112468206773310499867888496a^{2} + 73621224855732621901760294768a - 21192572618650444747166778408 )x^{10} + (-631025184978829282178516556736a^{2} - 118277487904309988540887166896a - 106550345036713927167681880592 )x^{9} + (-541913689800544625730261456688a^{2} - 78810587597573005184337626980a + 190989211505957642904154040360 )x^{8} + (180560166255227125851815960032a^{2} - 420158679441154060879955947424a + 262397881722214600545708255872 )x^{7} + (-440714621971992077323659618640a^{2} - 255985681612792963795941270624a - 270621460646476235929121774352 )x^{6} + (-363988761826881677760258652016a^{2} - 137017989847991552155123126192a + 559946644847356451620559214448 )x^{5} + (591710081674218918282807075528a^{2} + 206697505910073465295528804024a + 65772073766543336501039268288 )x^{4} + (-203834808825052437751576103904a^{2} - 195229214448294981719176109056a + 58066572695829803148106723296 )x^{3} + (-82579101107579828200461499968a^{2} + 630618135773782717482758853952a + 285730462830500252617004918112 )x^{2} + (-138892371475844035180317950976a^{2} - 404518888103061019845569014080a - 92188858189481650404050578176 )x + 239069403462362082951944612088a^{2} + 464231867574081913193732123064a - 56918923730141034632353363196 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary