← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (243940525378715201506979019704a^{2} - 123456191121421098059439254864a - 516030487263923863007326765808 )x^{47} + (-363572915752493946550286930456a^{2} + 424194314567851821759364306452a + 123776324127759510902390713504 )x^{46} + (115867810137223365301162569888a^{2} - 290472579488645003125746844728a + 407371211552590132477360132968 )x^{45} + (-155617711164749128057675305384a^{2} + 369143461832293988578903600464a - 196800738798060981352369605368 )x^{44} + (-315732311425118898075450569168a^{2} + 339703644526213141232831083152a - 169028255137241711769922393216 )x^{43} + (31156990741787013810453720996a^{2} + 51276418776345201975462926476a - 292850060344242770577989868716 )x^{42} + (-595039823422154263229044946056a^{2} + 503086011200912945949466038056a + 259154185756057116997071650336 )x^{41} + (-537099521786074617018721181788a^{2} - 71733574661523888774863558724a + 412341798461746402668852533352 )x^{40} + (610592680690024991707336553584a^{2} - 327371508521938615307458748944a - 342007978803026231876845998800 )x^{39} + (500080737949905699217489622400a^{2} - 523411882834249136156294529192a - 491505009026313466581445546696 )x^{38} + (-462080547557152509843393460560a^{2} + 327682609586187337901743344888a + 252541080127504469569902210064 )x^{37} + (-347580300920896558272953092536a^{2} - 231654107112321312860698951420a - 628935791892543038599869443336 )x^{36} + (196079673942114130031669376080a^{2} - 82479390870665661793267309024a + 364064938422708469595720586224 )x^{35} + (275523310163953420437031598944a^{2} - 384966530660863905339420056048a - 489384889815012796153838725676 )x^{34} + (-53094031282614879813948122592a^{2} - 573138516534708256533901036280a + 217929204718109146251848868904 )x^{33} + (-130394354651383805245423715516a^{2} - 3568895053314375022264670166a - 163945427645937949373000765912 )x^{32} + (80142318704813495290375200896a^{2} + 109345150332120220999374760368a + 579142612315800047775760286080 )x^{31} + (-338844322647911490076362827472a^{2} - 281078074474380937669344737440a - 146904697427652568897245087624 )x^{30} + (257920953445002920674953773040a^{2} + 455951995680270069212006255160a - 245107284540557569357795739320 )x^{29} + (-181287546105816017679924479628a^{2} + 93623462522953862634083300436a + 332723373760449240611104522480 )x^{28} + (335683394853079108863613555696a^{2} + 193256490308739404174939507360a + 433596486245833621871155701168 )x^{27} + (-567037476700965061826857524440a^{2} - 151301736600295854935783863248a - 291927813692742078316863220832 )x^{26} + (239539326479257264911668049424a^{2} - 546122268328638144173303621680a + 23221247147973564719189700992 )x^{25} + (633775763451430049736441735284a^{2} + 460184468548533641076004219172a - 154800011071506006583517954116 )x^{24} + (-350042769145289908982698186784a^{2} - 55963073578790347162790671808a - 245802538553269641864023528752 )x^{23} + (-195185712598515756017480674576a^{2} + 438991504213937680898731161016a + 601579850714058752683363234192 )x^{22} + (163859045967719284174788617168a^{2} - 234015689472717370256467646928a - 461023159812848566857200391344 )x^{21} + (479901295651229191563666091624a^{2} + 349255130338878210345431686600a - 148213513294011421437698085920 )x^{20} + (-580624173548378003249314741824a^{2} - 382709233839695394052679760288a + 481456191670939618656442048928 )x^{19} + (-427101884598576465700119168088a^{2} - 316525729043122980894642134544a - 90848201494572994260686422872 )x^{18} + (140481831004927333148618493360a^{2} + 496012634974000342822960155984a + 132066291750073826419459015040 )x^{17} + (-56258091966749429933346071628a^{2} + 188221194054751486996963000568a - 376753864184885971639819985528 )x^{16} + (117671763243100034246638685536a^{2} - 518915804143304506061873953600a - 257594907289851201482998245056 )x^{15} + (-393179204630945914683389494776a^{2} + 130453044157241247017261435672a + 235772268783075341553239818752 )x^{14} + (212126169889281401084095272320a^{2} - 229153440495976780702928246896a + 316356930811770654727782962928 )x^{13} + (-392278612145373354899302412104a^{2} + 210676568170707571823380732032a + 519077460935296827831048676664 )x^{12} + (102314171759438206450806804064a^{2} + 177558515473513126313060147328a - 274479200571804629023585085088 )x^{11} + (-186647307431439775675824106896a^{2} - 236577858164568759353983426880a + 459837345964134818978531119672 )x^{10} + (613161818884627692634406036288a^{2} + 377853467751060366223654725744a + 143299880382477127169996075792 )x^{9} + (-179264445958467220616477091712a^{2} + 14520666490049458491168372364a - 127706952727340184766113092360 )x^{8} + (-438561597334950296721406059936a^{2} - 451604561924762669654221431456a + 320317201730074529629277893568 )x^{7} + (181254469088906234791410865744a^{2} + 399618473494795639668004962432a + 242877778423360957259693218480 )x^{6} + (66367568835147571504180998416a^{2} + 103662922433950761759318350384a - 44746989562667822107622530160 )x^{5} + (581102974482618285237918841128a^{2} + 452469530266642368770727106504a - 179856030572925717566134354336 )x^{4} + (-620287071131925942700926468576a^{2} + 202510144739572604996999171776a + 88797051941952441730425029728 )x^{3} + (9770177385440413144160701408a^{2} + 607190743046394221435907184576a + 32881310822168669426257329664 )x^{2} + (-145098257491725398790031589760a^{2} + 323402480182387285698138288736a + 332759970449140045888058223744 )x - 27080674884489231025403560872a^{2} + 295531046328704900998907384168a - 13597970439815038252471461068 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary