← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447954336319681282002757279344a^{2} + 331409120318654973887948970072a + 633740190062762687547979840704 )x^{47} + (372506193846896925990954518272a^{2} + 6491971018260384969303021360a + 337549560749326635423232913716 )x^{46} + (-3097240202984127851840742640a^{2} + 45386042593430240039773460152a + 610986397863819755193116180096 )x^{45} + (-222827208831765976293588169652a^{2} - 509672814975499624734315169376a - 627861712764367334828428385892 )x^{44} + (132377489628188353000720960680a^{2} - 374033240020685575567693459400a + 103558583808949207140604216968 )x^{43} + (-9706369598798272033472405568a^{2} + 405821145519263378627598424092a + 621771525094746556959657638000 )x^{42} + (-398670187401149781074187494024a^{2} + 530838268324464209264615847976a - 341686386507624267339502784872 )x^{41} + (382095531843017270573689579312a^{2} - 258191962765134546427924004880a - 241883231904400912812725911324 )x^{40} + (438209719270706885588832310512a^{2} + 344443814206204430877994209536a + 121758084654627923584985472800 )x^{39} + (-510817828479950715809510219632a^{2} - 558068951381011660133271457924a - 19251860306250038726857812828 )x^{38} + (-190330179909955769322825213216a^{2} - 433515360000331353726172184432a - 225519132238294875718509586616 )x^{37} + (-569720749442936972763504136484a^{2} - 136652563638401306326018290468a - 598932935719587186192540134768 )x^{36} + (-567545413515354531046501759952a^{2} + 47183724839079703111259276816a + 278943256714808850648998382320 )x^{35} + (-36638957225410150638642023248a^{2} + 120070824337465366123460449296a + 309825061004779993405764016124 )x^{34} + (-444713460509137712657592738416a^{2} - 619136276788450196476504030072a + 7255709786771180883125918072 )x^{33} + (143502417233785981074975351338a^{2} - 282982801374983406629109633654a - 38253558442589995921534123154 )x^{32} + (178489150520959814179009719504a^{2} - 537448484740496057115986834160a + 258968674824070157315866111280 )x^{31} + (-328195323833133725417842724232a^{2} - 29799239437073988293705710272a + 503259086403926938956647601552 )x^{30} + (582116834944859667575661508568a^{2} - 569133544191714043475690728888a + 534099415865125772511233461736 )x^{29} + (60693052551784714590259457932a^{2} + 618208924048600275437737230328a + 286302563894926276229678227128 )x^{28} + (-45143226398653625116785620304a^{2} + 407306378603646796249924822928a - 515613103863255183984679260224 )x^{27} + (-314433093498363638045463850056a^{2} + 517255265301073578394597527016a - 79639924042762283201805321416 )x^{26} + (137440412570880582905589976776a^{2} - 222490219595750882436114689632a + 447088902217220341880536367312 )x^{25} + (-117905683084459193374287035960a^{2} + 320183901057306320987587502504a + 392390256870719407956668325768 )x^{24} + (2911835009739480015427703616a^{2} + 580430451729488401797446390752a + 69396466689042967085810378720 )x^{23} + (-132436927262764626059358529288a^{2} - 66489098941362941435484685840a + 67801344428156639326177938456 )x^{22} + (-573349490414738081430006650048a^{2} - 368677369852590362353884144480a - 221131060601215608474594799168 )x^{21} + (76739923336612813901022071704a^{2} + 334501051507434903202360107176a - 449031055785309228139407457392 )x^{20} + (-125935445478867841333322391280a^{2} - 249514492247961479185574216368a - 249476403949025602478041874432 )x^{19} + (141216882796523735267423509752a^{2} + 396304455189271026801823079928a - 408534776880636928539361864752 )x^{18} + (302624879531788962389520361632a^{2} + 543952584867301184780454516720a - 376736607524809635661575615136 )x^{17} + (-215427977044580713163627091312a^{2} - 75217810880763651023365435676a - 34730266877041190334387374628 )x^{16} + (229812293862965285513198094432a^{2} - 310815847338133800926949609472a - 196077407628275326521780671360 )x^{15} + (-514169556351383190403074321808a^{2} - 519807000851792208290609258736a - 539253249474618060168063161904 )x^{14} + (-350008144971323942916751895504a^{2} + 34562809522572309213620248224a + 221166595218112494918345451568 )x^{13} + (-84705331010385217050463141936a^{2} + 285582502450733769075043125016a + 329101979008530551735357957696 )x^{12} + (571064252541141045837041235808a^{2} - 71528612702110086646818583552a - 340392075863062172253695596736 )x^{11} + (-24742361855480614230343208664a^{2} - 626243839815533689463204632384a - 122806670825381811068698376776 )x^{10} + (-10500642350300787646337513936a^{2} + 112881860171705659502126927424a - 163025944512378502789619296176 )x^{9} + (318213131885539768669529949340a^{2} - 588656625471000069053030658476a + 544117118693426045566302108616 )x^{8} + (-213336611413587804844496865248a^{2} - 536513610585408280886753692576a + 58347161847502718627747418880 )x^{7} + (299441047130545921675842477552a^{2} + 284379967868554013378669518256a - 374403890552909390074031718448 )x^{6} + (-94020161997968136029831269024a^{2} + 414872353979936705521663509184a + 445955858283888185183922767488 )x^{5} + (628141940073036601648764274560a^{2} + 346231906442448822931954977864a + 168578536974058633360617456112 )x^{4} + (-66052527590385038956562000608a^{2} + 218848860216016017321717374560a + 396361211400867322448096281760 )x^{3} + (-22649907383631445473714079296a^{2} - 223689789687249105221838409520a - 592912019984392347220002957296 )x^{2} + (-498062896450136517867780811232a^{2} + 108476417821218884421154142768a - 207912163109515947158006174848 )x - 537287851686774925566381304900a^{2} + 272909673894753679546402009508a - 192793931077321955737432316372 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary