← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (243940525378715201506979019704a^{2} - 123456191121421098059439254864a - 516030487263923863007326765808 )x^{47} + (-519911496732713082553784345936a^{2} - 81042718538129170644922327524a + 23199661481100121382696548880 )x^{46} + (-480514168297295054225692257712a^{2} + 521322169848443990979805324296a - 88259540199104118926378994696 )x^{45} + (150572357568608996284615637024a^{2} - 302773943757967111383671192224a + 133821326500628901819521937240 )x^{44} + (90163311027329683170472694496a^{2} + 500801696768592408826913133760a + 623536659778902428422508277456 )x^{43} + (485476081121248330516056417972a^{2} - 30347473569822723621253144340a - 60251656834251668802079030396 )x^{42} + (-435272247415090244019951398880a^{2} + 46302990048507991784754768360a + 156351081813240499621749810056 )x^{41} + (293565444723060700161955470792a^{2} - 362642340043730103850035551920a + 262055053051335527776755366288 )x^{40} + (445814888079898222286369267984a^{2} + 56364949241243568688607232208a - 301413963721725793986278903312 )x^{39} + (133001925488972827739747086752a^{2} + 319081668293005916845177280624a - 247238642510235408581024900576 )x^{38} + (272501261526630496200643395856a^{2} - 396913653126991220404572399560a - 156190244131735445337026965264 )x^{37} + (371370725002558225933255282640a^{2} + 282660349536451106223640360580a - 274033029061705571646006986608 )x^{36} + (-230727028990879176617120750128a^{2} - 55332039172210188805795088480a - 267123453638125215131757324576 )x^{35} + (-350017710474529417889730396912a^{2} - 547795037349057126823709349816a + 300366056887922819360394359244 )x^{34} + (378823533027160518073912829376a^{2} + 428536155886432477117803722056a - 613944181271579750661778212504 )x^{33} + (-201292133042162482984186396820a^{2} - 386521252529130755760997849646a - 23464772920825518615779317652 )x^{32} + (246335745890053123476795023712a^{2} - 183047363515615421474567679440a - 176357447491265970061078100032 )x^{31} + (183037677616329408003722469600a^{2} + 331556707819318745235297971360a - 411788302770058571154787879336 )x^{30} + (-452594908646052751795968346736a^{2} - 145065572810975106876763488424a + 286457172475517734802549469128 )x^{29} + (112583120579346888345053694228a^{2} - 158596702594108720313715130540a + 17586733433333168447734048696 )x^{28} + (-156937113568490690309171261872a^{2} + 177733752159505077829162929408a - 434431673311207225697116567952 )x^{27} + (75168504467980645476920347016a^{2} - 307367779995427239602214248752a + 215903632623436575406067489848 )x^{26} + (364406499696444668456320157600a^{2} - 573988472578179136835217148944a + 236814676757163052101684347216 )x^{25} + (607379637499781292440401487340a^{2} + 35881344852833454712393798284a + 309776845879150778185974244836 )x^{24} + (440709761249564633783167611936a^{2} - 419241038256397096473114112288a - 593803613852243966514572684720 )x^{23} + (-303188479547171846597316395936a^{2} - 597137173170842055382519969800a - 264032862353323007868647145072 )x^{22} + (14238635533623350848524159472a^{2} + 501057303386277189844647393200a - 99658429407968504943031697744 )x^{21} + (478167357666864982702631444072a^{2} + 458052306970197115553621593296a - 42582497160858233303291290240 )x^{20} + (455541003819717418257933539296a^{2} - 210268413239593729423772021568a + 515566469019712170574973120000 )x^{19} + (74623589566607568460941342568a^{2} - 174744533638033366035892475920a + 55304712743588745206026183896 )x^{18} + (307800440619615318610498376912a^{2} - 149998083019748743069788844256a - 309599656769984031567094584640 )x^{17} + (-512228520941288090495738414484a^{2} - 209444371526052294781865491136a - 96349979382566793108118915704 )x^{16} + (-265741427247264262051587278688a^{2} + 170164632040142763303295021952a + 6969143465688759864204765120 )x^{15} + (216141442234437229814323624456a^{2} + 209026656397595092709023298168a - 436082927767888171157756961088 )x^{14} + (596250588929477038979991259456a^{2} + 524068355695141550316835801296a + 369982807857162007788868159760 )x^{13} + (-92140176274098724578393953208a^{2} - 59230026145497024310417227728a + 19312230783405602661487374744 )x^{12} + (625066973141683963991417218624a^{2} - 259450767411741092826135803392a + 185736023050879868880539083360 )x^{11} + (-275878141935936555451441486784a^{2} + 348699824404143867624519768688a - 189189800936317269762546357768 )x^{10} + (-500965833814875345774015188224a^{2} + 270020281566714632669346651408a - 339710855997330035893730351504 )x^{9} + (375894640297701602733938915904a^{2} + 77157797685209293700133817900a + 420533616150452948000873972248 )x^{8} + (-53756273443546186654046202592a^{2} - 602136731178405222964229843104a + 509812342516727974919661046656 )x^{7} + (319893902414962951262946135344a^{2} + 38891800928095919900261796352a - 292508781683749983632631756496 )x^{6} + (-70906780520776360894685914960a^{2} + 351112255473251206779027406192a + 272483641532659138447841653712 )x^{5} + (-476444928632287872246929916888a^{2} + 359713685650177477174605621336a + 440780942205513854651870704576 )x^{4} + (244078161232773250944516600800a^{2} - 8093502932333283386688905792a + 536871281238761909873155152032 )x^{3} + (-420960444145899811524991187424a^{2} - 292980072885045839228210965344a + 243208330557912712916444451936 )x^{2} + (-276735509898327485622914545568a^{2} + 494037208041095985085755860864a + 127990142842174880053939158016 )x - 282995847647210020635900762712a^{2} + 142104073611531547325998504040a + 210106901438724074927078804372 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary