← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.66266_982864_1047946.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((-167006206531585627769583508860a^{2} + 236852325068186126874218671944a - 315566567753460783998777488563)\mu_3 - 270909893838128926675720530054a^{2} + 211466108526716940954088701738a + 189296219679864742868542638272)b + ((-206901005680523898173180054672a^{2} - 162768494852615895933910377344a + 173040208830781642510229962196)\mu_3 - 15611723460232328261112328952a^{2} - 243792696299944841253959112989a - 198808631217389672985666638933))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 3a + 3)b^{2} + (2\mu_3 + 2)b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + a^{2}b - 2a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot c + (2a^{2} + 2)\mu_3b^{2} + 2a^{2}b + 4a^{2}\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - a^{2} - a - 2))c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a))\cdot c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + (2a^{2} + 2)b + (2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + 4a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a - 2)\mu_3 + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 2a + 1)b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + 2a^{2}\mu_3b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b + ((3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3)))c + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + 2)b^{2} + ((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 2))b + (4a^{2} + 4a + 4))c + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a^{2})b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2)b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2))c + 2b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (-2a^{2} - a)\mu_3 + 2a^{2} - 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (2a^{2} - 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (447954336319681282002757279344a^{2} + 331409120318654973887948970072a + 633740190062762687547979840704 )x^{47} + (-177080111798833196892194284416a^{2} + 601868831363979002153450670664a - 47299279502321338036004683836 )x^{46} + (12020924058699718024565674304a^{2} - 611268974840291427854129668920a + 56603010524420231729383130304 )x^{45} + (-3291304993826463328908732516a^{2} - 325436170143280753810077269088a + 71306849776195983710531144524 )x^{44} + (-27832257031183966910723144a^{2} - 253775918273636577117937994104a - 465556662448676146708606347512 )x^{43} + (388774013633473515802202676664a^{2} + 631412241816236964024917506356a - 343092376581805735766850121584 )x^{42} + (401456528881163013126759410032a^{2} + 154048046430413747657207882176a - 535377186819930350841773075328 )x^{41} + (-75684621468657123653573016300a^{2} - 111385438754326542679902581088a + 281516816683094104352324742856 )x^{40} + (13232061781070058003104172880a^{2} - 264631131670986915635892806560a - 201674355468731020810338312320 )x^{39} + (-337453148559837927382243450752a^{2} - 81052696749547116697970842580a - 67237107632548381788319331116 )x^{38} + (416037590122305397585137307520a^{2} + 279557082686577956482833860624a - 598995240265353041124501560744 )x^{37} + (-392999446437141861777971982860a^{2} - 581605176086216770173137730284a - 32834036347781477228353872064 )x^{36} + (53447905041397821729169323440a^{2} - 135708899459873688582537648464a + 186007011762432845946081510256 )x^{35} + (-230711955460249671125517186480a^{2} - 5718579509163714912056141456a + 181331823726852948588107098428 )x^{34} + (183583117430496318255950191152a^{2} + 434589821010198438564389085288a - 361980857738969630816095585784 )x^{33} + (118406121948444246882391789318a^{2} - 441320888695997428241750614442a + 222706545270927186410409175702 )x^{32} + (-24478970804333981200791972688a^{2} - 33619126682508641000161269168a + 590367095244330614543176198160 )x^{31} + (-432360591205736475199162935288a^{2} - 628199020644107600998905502144a + 434271503778860871645341323584 )x^{30} + (289857515273277628664597985112a^{2} + 466181781283269844001500233416a - 326601189382848934505424284120 )x^{29} + (-31967587496640127053464584652a^{2} - 464126810711602835103597499760a + 345479372810567129895812375512 )x^{28} + (-421300696494449414901230765072a^{2} - 575857794313445550535609016624a - 430116427971284333207193355616 )x^{27} + (191690711793658034669045544168a^{2} + 153498611794117081258066381464a - 166381751764987626305064833048 )x^{26} + (81553145751117583290232275416a^{2} + 348908690265029111840832435856a + 627278000076285980631844778960 )x^{25} + (609113834571948217363683043464a^{2} + 243396723060137794059540514304a - 446762643238585438177581713872 )x^{24} + (462599268218168477937653928800a^{2} + 303546398676234810351865405088a - 523640916694950147020089884992 )x^{23} + (216902049430791145625326955960a^{2} + 541632271862462526136591826656a + 532898840307259747471385107336 )x^{22} + (-348529713442232398948007245152a^{2} + 561530016646735139358209145824a + 72420191033029739810054901632 )x^{21} + (-477935457435520447403222316744a^{2} + 556545576108025586838022634608a + 115440059404435578250240383616 )x^{20} + (368964795765863487280953814544a^{2} + 500321046492565564117071970384a - 127591805288732457748931363840 )x^{19} + (230680655075875713850628171096a^{2} - 590465555141472363340164619192a - 433278125864758238351095580288 )x^{18} + (60594501754162110464710132608a^{2} - 168088326458590886119528294192a - 138229253494236490794917666496 )x^{17} + (237438824379665857059441678424a^{2} + 581058498837798367451400859452a + 57389447437953464027808688052 )x^{16} + (-7343393910994325024025653728a^{2} + 604746707852618691659689402880a + 436864598913347465649150099520 )x^{15} + (-375540640507134475510031920112a^{2} + 554523182157569383786265896816a + 464455613702660021457082246384 )x^{14} + (-563638327191248405028165588816a^{2} - 5270792555746103864269670304a + 342783341866999742069612894128 )x^{13} + (279865667587402188382553441584a^{2} + 267388140840261347084556211624a + 139915942450332179449387593856 )x^{12} + (-48167249972547023657386014560a^{2} + 167747123442633612676308499488a - 536148068957378098020817893088 )x^{11} + (452391137459041599751908071864a^{2} - 527384800622142577065298325264a - 48061642126908218592256630360 )x^{10} + (-115683394589068398170889036720a^{2} + 189781461317673501686887798848a - 392967138623121970422112744656 )x^{9} + (509173423362194257629064101340a^{2} - 587058131805594430044135831628a - 495412471202872124198814314680 )x^{8} + (-442854538418963609025856082336a^{2} - 115391729504860058602245062176a + 108575962339123512240870280192 )x^{7} + (-389853521143949613287181624336a^{2} + 552604970774664063909428666416a - 43128764017208605115066481968 )x^{6} + (-243823857992107802655459384416a^{2} - 333361044819387512252597283552a - 122632157004625382929492185824 )x^{5} + (-614187581521267406332749922464a^{2} - 309493969191848238929043700392a + 141417630528133922569333319280 )x^{4} + (308584976179920806629230167648a^{2} - 270379434467817913293895309536a + 559155765125841322604776076256 )x^{3} + (-33120274071936814575675014496a^{2} - 601291381438519100430299303744a + 134391782197641419195070571824 )x^{2} + (254807259348557732538228920672a^{2} - 192347772289578623954981626480a - 179456551299303135035749794176 )x + 257598659897465591155852812828a^{2} - 132845012599886503498713490316a - 488727740904405933293331976052 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary