← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-560789263585874813177955848976a^{2} + 525541162731965205031780799392a + 358013291095419617185544009936 )x^{47} + (-11967953516436026339745696604a^{2} - 138310024693203030710677807188a + 212974008093196825359451816276 )x^{46} + (-318757322250240874844728432824a^{2} - 464862218337459416527569987336a - 81608090372841307729243971472 )x^{45} + (-317455638307924613750710529888a^{2} + 120957799653605106320130469716a - 284255845471102142136484990724 )x^{44} + (-339914139224334600542275984080a^{2} - 567229742024522094362283717536a - 589677137935392556368518604912 )x^{43} + (35143793269378219155409629876a^{2} - 628239267264270314936007457336a + 375685215804377635308166654716 )x^{42} + (-250390540632758391528982957208a^{2} - 213654726491902112208237060504a - 283933479206385059745660689344 )x^{41} + (-210325336038282603501297013460a^{2} - 191217221331272106709553672656a - 317661760640838438961852411096 )x^{40} + (621006484252695765071438368256a^{2} + 160549974343598454010084738176a + 82995675539807610341038451808 )x^{39} + (36248322561797886860197756528a^{2} + 66914627067245460810235927728a - 66807535268385237036294849664 )x^{38} + (-50907001610044272928509346952a^{2} + 19060565788747580277463052440a - 238835074344386482470811785504 )x^{37} + (581779633030645351874481134964a^{2} - 16270147660532300933191883632a - 271810871759230548834062026304 )x^{36} + (-101550440173758398284759407104a^{2} + 225158827367993701625537717072a - 474071855612420706848789576864 )x^{35} + (-288102887726742835564332310580a^{2} + 282542345715974507156084357516a - 570949634310139659383877736800 )x^{34} + (-518382546879961529483615677432a^{2} - 33413560707855653500191819552a + 368077892466754614367659799424 )x^{33} + (-457993750579743746087429158808a^{2} + 481046504647331242357299590846a - 363938897773843558303014609526 )x^{32} + (13464106516641261704764783840a^{2} - 523438040235942376914587792608a + 577292753639955216759157871952 )x^{31} + (-180275884616134241050491682624a^{2} - 589003526548056723538661171800a + 91314654087893284397205504408 )x^{30} + (314833694303170514403940296552a^{2} - 434822036024217616926738285864a + 273706782010140828486286189848 )x^{29} + (530953883033422064942279348196a^{2} - 139059155955303782167907361084a - 48907533167022622620361985484 )x^{28} + (335189446944932935144246007728a^{2} - 296004796380551210645424942640a + 214729505294812964764406815888 )x^{27} + (6357510359689186109972327288a^{2} - 577653936108386974675480102952a + 319500944637010072445505127728 )x^{26} + (490638478328734896292960096288a^{2} + 279994617102233690769902644144a - 201681336148521665424352394208 )x^{25} + (-148703181618331058447971645912a^{2} + 183431633067038685474944719448a + 469426473521580980336146080336 )x^{24} + (-181219488575566870383167164048a^{2} - 172247358913649967971104023264a - 111170712246850323114609871344 )x^{23} + (121404722594177022939142395096a^{2} + 72786919272119178931215583432a - 277840611691574520214824250504 )x^{22} + (-371809177287432921554820498848a^{2} - 187441307078209228164156721248a + 389551792663954235346162354192 )x^{21} + (210168639200851651266770536360a^{2} - 382932800920014871172783074064a - 240777364782203809737330222824 )x^{20} + (85297800441817122011924214016a^{2} + 333093671505000966422481810400a - 290558081025170102440481301952 )x^{19} + (-615168389625433620304894392824a^{2} - 412757710116199381872332445152a - 427094124588280969616501827696 )x^{18} + (-597668813939213184966408694048a^{2} - 237327876256707878240194777488a - 252927290951723856222535058704 )x^{17} + (-41446702664772619091377668876a^{2} - 610932968051325982524207601208a + 82187621811921582783653770412 )x^{16} + (-577128829725069567835395371808a^{2} - 62810018406683272244210935360a + 447325565516040559681275004992 )x^{15} + (70406393865872590406057957912a^{2} + 475217009047811403858936550608a - 497272213414052344963745667232 )x^{14} + (516410435780702230685544223376a^{2} + 25315001720265112135986153168a + 595991987796041472251559951328 )x^{13} + (469352371409797186953825105720a^{2} - 590689669604696704889014733112a + 313505451838822323456723514496 )x^{12} + (-497451404623855239488660479552a^{2} + 96951452718592017580578991200a + 608140470985550746535269165632 )x^{11} + (-327596886022036531108758229208a^{2} + 91918365262055965383403324040a + 444068899823657167383839990288 )x^{10} + (-522722722897483104365854214032a^{2} + 11058029284744370548169277184a - 87905796146418326250909204096 )x^{9} + (567509670563336382511899651008a^{2} + 349536578221317739312008347956a - 263441218382406435216047013004 )x^{8} + (280962910882098176977814424224a^{2} - 420753816055863194556807795904a - 394271788170833150239720190592 )x^{7} + (-163505832388257609131349313680a^{2} + 486254485032471278311187006080a + 215540144540423123119233167584 )x^{6} + (-97967689690248677033005489696a^{2} - 91537112818390121380902525600a + 398022203462316129937696595936 )x^{5} + (422116038092988932761859411880a^{2} + 311696284737121624202160928232a + 585162137307294258364302257016 )x^{4} + (-87010002238692707560686478688a^{2} + 20364509608663335285779815776a - 505406932558372133001460002272 )x^{3} + (-266102102598246104606725744496a^{2} + 178262684934626542783344042896a - 353190989967396004027168628448 )x^{2} + (-347704422329499133916581173664a^{2} - 265709427458690873241749325760a + 597694960416283198076209422848 )x + 342892795829684076490660323616a^{2} - 84987054347144460831450723264a - 83975893681751639015871981860 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary