← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-560789263585874813177955848976a^{2} + 525541162731965205031780799392a + 358013291095419617185544009936 )x^{47} + (-224504706786662957487497670564a^{2} + 445989064949877010727570823092a + 65518694298048285318108199692 )x^{46} + (263752783504491894870093390760a^{2} - 290075999778294671735747019544a + 6855818833658077423849269872 )x^{45} + (-221772172503988681199317459704a^{2} - 312787176744761436032290905756a - 139771118287848861094336497100 )x^{44} + (30046515863891510669735533280a^{2} + 365023351597488766773765856832a - 284845196409047280793082037488 )x^{43} + (481974940229474052936794207044a^{2} + 54908958088300567528352440696a + 454260119548710803324058852476 )x^{42} + (-88933030310313619982436830040a^{2} - 73448195864357557742318349712a + 576852468955646390794567329288 )x^{41} + (-508247288397217932809955562940a^{2} - 219690106707495454228070139592a + 420054504929591184289235636792 )x^{40} + (-31781088863104085544876012384a^{2} - 273801024467201341419724782752a + 503136200982377924686318163616 )x^{39} + (-341918430355132059630490289688a^{2} + 273054777980506020465062470584a + 471572248300574143733929854728 )x^{38} + (-581289319397843983992287766184a^{2} + 509256199983084990239544785224a + 490683416309142499043621111408 )x^{37} + (-154952621374122454483480593556a^{2} - 215539755118505414658899625936a + 422892299413087027562227704536 )x^{36} + (-91681533103039908358931423520a^{2} + 368105543999849681460115087536a + 220756422689895030382509470208 )x^{35} + (-37932603727643920585331144228a^{2} + 527535579825009308060474370772a + 604617214325793375311019668304 )x^{34} + (-350393742277653557801154876264a^{2} + 59315399758592815445497525696a - 177241067576640778415150721808 )x^{33} + (-411081493773487121729476185548a^{2} + 475627727756728299063836542702a - 18025563023879107226585996930 )x^{32} + (-457798211141553192556045920928a^{2} - 105447421740986294406277067680a - 289993515148405903919891305456 )x^{31} + (172378633863852477406697314336a^{2} + 587267662051434318079810451528a - 328314069140543674727135656968 )x^{30} + (150533372894768469579774031304a^{2} + 554116421936949904025071522424a + 495391704038114556701718112088 )x^{29} + (91322115869562315830474407436a^{2} - 149008649198547048589021336452a - 116105048553762263449597489996 )x^{28} + (301526235597586090953703317200a^{2} - 85298211052157708740714247184a + 335931169682833136729906949072 )x^{27} + (-25893529169209613076578068664a^{2} + 126287726019864254434303671464a - 399216875441354961051129016616 )x^{26} + (554822472104048320851209941488a^{2} + 599104705118252405506758968272a - 610355404946035889518036510208 )x^{25} + (-62474480169779164396826303424a^{2} + 175818565943213211544392157768a + 247948406468538569424236249096 )x^{24} + (-458333815232239828450834260560a^{2} - 440232498321033694724422470240a + 265472947802221629989820594192 )x^{23} + (58986480310303920181968750136a^{2} - 238008787879296713728672140344a + 309854248057617370434419359208 )x^{22} + (-436447725452070209056734558336a^{2} - 24388844141597103459073473696a - 572070002566127015249054857136 )x^{21} + (-147295832117450313675050066824a^{2} + 67989249046027173824824243904a + 58657908163728124364483262424 )x^{20} + (-570032785668980995841864210368a^{2} - 300202861079779257300110566464a + 559320034158092786970943694208 )x^{19} + (-195951496900514727908665713832a^{2} + 262918594714342773463871204048a - 290773953491445304777204737856 )x^{18} + (529006884475728375257150509088a^{2} - 464938511708200937070703872560a + 581427362123666543528409483088 )x^{17} + (-361175594931771411238211240508a^{2} + 85849373285409893357812784632a - 592545566354241644520555005444 )x^{16} + (-192891694991035682191568980704a^{2} + 364771945837125283483193561024a - 91682864677575980450558720192 )x^{15} + (339316523424667502464193412184a^{2} + 619110081273504245045654733328a + 624865191167987044053910054688 )x^{14} + (-59684869961829093124094320848a^{2} + 308446794809404004741067256144a - 536634530640168520108633289728 )x^{13} + (48826039726501954226663202952a^{2} - 352323191693564700636663539768a - 3949919879423968978406325232 )x^{12} + (302508101491498292739184233408a^{2} - 165644543956209672514469485792a - 350971127955509622290008553408 )x^{11} + (-304954055054547595713928716472a^{2} + 267224673113628467571272143128a - 56512692210868461160887428736 )x^{10} + (253758803928025353983600254000a^{2} - 517084945412452302731446894464a + 463708898816098128154432596960 )x^{9} + (-20303209843042915524646883312a^{2} + 633172525213008817493722967476a - 310060824048430963584816103644 )x^{8} + (426500012754781318616704180128a^{2} + 351640193252596622492972882816a + 108929100253636606493524876352 )x^{7} + (-544401694427086631402099770128a^{2} - 23246697549431428976547103040a + 633078979372339872442128945984 )x^{6} + (553201728212200780764231543200a^{2} - 239706079443092136567940405824a - 9825893786913129781328395872 )x^{5} + (139947377653123239255187552056a^{2} - 453385153440814087553009502712a + 626042103817452740605279072632 )x^{4} + (567053960428790424665543133984a^{2} + 115462525079490898739027343648a + 395468100876309566666716486240 )x^{3} + (80816842546587971178769584560a^{2} - 317503491880147952919949877008a - 373083753776951614936909073280 )x^{2} + (322461434135826515714150403520a^{2} - 545036833431464666296309119424a - 579479589094967516735780296576 )x + 119596213495323363924491898592a^{2} - 572975836793545960286164728496a + 554093000842968578644945907980 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary