← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-560789263585874813177955848976a^{2} + 525541162731965205031780799392a + 358013291095419617185544009936 )x^{47} + (174951496416978673877744761188a^{2} + 520585735281217828343347708388a + 93689497514719530842141308140 )x^{46} + (182936067028510953199368407064a^{2} + 315731782044855589539487283288a - 285089083030864142922238669408 )x^{45} + (-193547999532487640238171771192a^{2} + 387849195765603688870112853892a + 448342126735726641597420865108 )x^{44} + (276661883184032630205124646320a^{2} + 325701189918096303286127431584a + 629901797919039174396434465328 )x^{43} + (524858476614455091271130546532a^{2} - 51698427181111447582509549096a - 411564529983187585495396950396 )x^{42} + (58540046059955087547105306336a^{2} - 384916476698604619672206686312a - 438302776405544870006806383832 )x^{41} + (24231613394050319203838638832a^{2} + 466214209089340941309792134740a + 273067058698242199991091196908 )x^{40} + (-286152021707936566802387911424a^{2} + 424436394112136388166884664448a + 485798708123914841019556316352 )x^{39} + (591303929277235165172368329896a^{2} + 160093608241078208313673607400a - 133094918443940242255668873264 )x^{38} + (401854845275515276792864468584a^{2} + 54293694158145114560171311368a - 286732824637684416996469838256 )x^{37} + (-321579336009565375124443637212a^{2} - 322488344000196159515225431000a + 501796927106448104422932148008 )x^{36} + (416665284017324374036281087536a^{2} - 185783880502689229938938210896a - 314308395514852407179548800752 )x^{35} + (-278375012316622486759032082548a^{2} + 618465162130012742646227399324a + 204188858306880306700128513552 )x^{34} + (319865075548900009205760173128a^{2} + 192084670177395760706014805904a - 388039671528246615306520624912 )x^{33} + (-35710513265385610465224873308a^{2} - 48916623754964820494676628694a + 391090406124246879824973649534 )x^{32} + (617769041011804332661988246944a^{2} - 100185344348960606748108108576a + 279834395589447439038606497744 )x^{31} + (-279745086198675273401459468208a^{2} - 423826739943478240594819009544a - 167982887631409973151394980120 )x^{30} + (100294272354132833200251465608a^{2} + 156143477862749172609666402744a - 166767751543967474630394164232 )x^{29} + (259667171657258381831338645980a^{2} + 242896584488646246852044755012a + 268854707791868834239148071492 )x^{28} + (613528308353553953039553267120a^{2} - 578304052104746788966764466864a + 195564006655333742611380227600 )x^{27} + (5356443842702821094855938792a^{2} + 8240046715864692246968546320a - 296525259090735459519368321864 )x^{26} + (-279216705656266756019774344656a^{2} + 381537196325989895006538089824a + 529081782250006054720428313840 )x^{25} + (97121436530205888749385264a^{2} + 14999817527389888303494781888a + 621019030181452365858048513440 )x^{24} + (-612853392319006004483212214032a^{2} - 47307739344112720869393309856a + 276136480518803995775237151760 )x^{23} + (-483991354299729782540838381400a^{2} - 464977271798505311599779959832a - 439415081099480766717621394360 )x^{22} + (523181441311114087297778088192a^{2} - 492248746790015512402065247392a - 522578253813620210564479350800 )x^{21} + (-467979182851433961388502821576a^{2} - 228095225364041838014715983368a + 549644566599540078062686356064 )x^{20} + (415449549943497510598880357632a^{2} - 79471614721724608672665495904a + 625110312070117770071498855136 )x^{19} + (-324425192605804025290580865160a^{2} - 259734800594103803165668884432a - 618996542880033086049511811568 )x^{18} + (550859734100792551367324945440a^{2} - 239792647172754826104517559312a - 467954832792459984409932411696 )x^{17} + (455045855876504672439985122284a^{2} + 30128721413928448327472093056a - 260265199225450144468979929020 )x^{16} + (610687959121528005750556181856a^{2} - 54290065587677371447446172352a + 228576028295743770567860069312 )x^{15} + (415908813279351451740099460408a^{2} + 184100075263311570723787126800a - 468388288016058947675240539968 )x^{14} + (-407553096916750253718166058480a^{2} + 36740717570499197976612916496a + 505081260337937072738508995328 )x^{13} + (558593900879386817549922404920a^{2} - 457992698131761232242709050520a + 471355886081388873494983032928 )x^{12} + (-415602688862663509324298428416a^{2} + 80901647964118427099881246944a - 411120693080718344597462445312 )x^{11} + (311405651299120580453244955992a^{2} - 234972662026854882591603638104a - 138104440091259544521470558912 )x^{10} + (-501301699479261393131142476944a^{2} - 390566847614078937373077628352a - 224965129539996249323389789952 )x^{9} + (373968385884157460438929503520a^{2} + 479084254856432317578991122372a - 506482515517688433009269772188 )x^{8} + (277866489765501365544244374112a^{2} + 401341776012266176268506928576a - 481047119335568776385574095872 )x^{7} + (511384416425236656064904617552a^{2} - 475960193081004741853482493824a + 77175650679868422091518891168 )x^{6} + (-33703013610371317454530081696a^{2} - 475065901954443153857580197472a + 316179411976473890385497149568 )x^{5} + (-95205833340047497924972576424a^{2} + 616208422467485116860577418152a - 94687534297178172374670405688 )x^{4} + (-166138337587861469768068902048a^{2} + 116810567320494609168532385056a + 158447337181583150490993036704 )x^{3} + (358815011988909521648917350352a^{2} + 507474135910444371253306359760a - 455516565457876443232520107648 )x^{2} + (143602833475807690722044231424a^{2} - 217430550588650176582640922208a + 401204664613482874076112031008 )x - 383293922283268755704281985264a^{2} - 281908326754042557739214995568a - 104457254390019341049915134500 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary