← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-560789263585874813177955848976a^{2} + 525541162731965205031780799392a + 358013291095419617185544009936 )x^{47} + (-625290929867694181239563011300a^{2} - 76272398947281503960738512548a + 606293108114778321482740879764 )x^{46} + (483788500131793143677480446488a^{2} - 144628659514919770593509018488a - 89562917483599633295300964992 )x^{45} + (562359946955663585915347097344a^{2} + 396472132072251414923487030948a - 270154516819411664270708512468 )x^{44} + (379411349649236137414273467616a^{2} + 619193337800361751540077713344a - 95877008306652435230899823856 )x^{43} + (344999756941946998336441372836a^{2} - 399712104530146140572534771448a - 259175542380040151792528798044 )x^{42} + (118061937232505139428917853376a^{2} - 543220567344511865832339375920a + 156724868390223316095927961840 )x^{41} + (-214377060649057451390186417456a^{2} + 244042709891898268964383284948a - 608364530469393854991171425156 )x^{40} + (-146318481478266365126414491040a^{2} + 370687740731372744750809319968a + 585035444494545098402575875776 )x^{39} + (-523739166122652191005119335200a^{2} + 90362897720196778426137579872a + 324048575290417668394841360120 )x^{38} + (-519511341576983204460947762872a^{2} + 1612544593347351568631641176a - 8089977240741759645383943648 )x^{37} + (159674821107648892488818782156a^{2} - 132350260132710363499761025528a + 6758341128932943248341653856 )x^{36} + (-320409625282600628414307806576a^{2} - 496829105436365459789079813552a + 150191179695896292462239111344 )x^{35} + (-418424293823522118508711526452a^{2} - 628090814493214187905835265740a - 444494721280171199717041974368 )x^{34} + (-626146879746638841611905654152a^{2} - 580719642153173786339749702128a - 281783538155869034140503175968 )x^{33} + (-609079998077020187439280031928a^{2} - 62556410842260561327547842110a - 273907719116693758777876014046 )x^{32} + (507952904178992317117190177248a^{2} + 129168142149258205463208042848a - 304295287818359310129245690672 )x^{31} + (494623754773151931605282193168a^{2} - 364197843113013441633766898536a + 74349936744551965694548283912 )x^{30} + (-187998719809513636572638388248a^{2} + 399292970582774422626623122200a + 149621765063924557294269460600 )x^{29} + (104797722501562323603794456532a^{2} - 56836895903305559417646260452a + 427947379021977208717926092068 )x^{28} + (-505151920297843324511509096048a^{2} + 363751513720301603261450220400a + 114891731860879769876891457744 )x^{27} + (-418312518741485987974656057944a^{2} - 486238921053680901263128031376a - 499191407820642920500485198544 )x^{26} + (253783544835789644689704192480a^{2} + 239148437374829302661073171168a - 138698538784127679960172985040 )x^{25} + (240169253024605234185751932232a^{2} + 299937387234831208557811124896a - 370446286499881028721947211160 )x^{24} + (-17579321086839415720072933200a^{2} - 216845776068749443465987948064a - 93812158950776844964500566384 )x^{23} + (-387928131263782547078532651256a^{2} - 54949749422244784729676255896a + 463337347948069613560652303928 )x^{22} + (-623064027864591669069006033184a^{2} - 499306689979292521038541151072a - 76689976700586358066298166096 )x^{21} + (-168290658140387754813394260664a^{2} + 100043384524571623637285506664a + 453659822159726171183225908064 )x^{20} + (25313451233731771549669399744a^{2} + 37769914598709118794381234624a - 83453871416120669930029826464 )x^{19} + (190985552378846037134602973992a^{2} + 369620306940040744368279984032a - 364311430300050421794139911520 )x^{18} + (17803136236434428405881039264a^{2} - 15819156028910346930345897424a + 519246858374486283473874158352 )x^{17} + (375114571806455636439040949612a^{2} - 630685515965777120233313910288a + 75165081933273042046505679220 )x^{16} + (-219629893867509312639812141664a^{2} + 258774008564259843286735843392a - 267624152163731870966901258176 )x^{15} + (-411735008227497290328506835208a^{2} - 353098137442142083695114575792a - 270198007051069521421175229248 )x^{14} + (97454958323569898207546126768a^{2} + 122884653304829024287959146576a + 370251861160565720163719295712 )x^{13} + (362289769992680666615502466248a^{2} + 286636297601358108234452737512a - 534515659795131923849661290448 )x^{12} + (-444561227754393488484245005312a^{2} - 17823963322895767277291460448a - 471083553299964620381697892736 )x^{11} + (85240395446995519148299001688a^{2} + 373307087293034977961192618776a - 469328854321389655865891775504 )x^{10} + (-256399562750226627610325197136a^{2} + 580218178303643916923400748096a - 16551839838666255283714241888 )x^{9} + (-55835435067784356443771954640a^{2} - 523276184635386860955228118076a - 538583462952208833136596685772 )x^{8} + (189430008879379529423871980000a^{2} + 17948005769253219388450014080a + 261128580033091167582535368128 )x^{7} + (-114727765259891187074147976944a^{2} + 318462600691967480564911646784a + 217555500762850187142051611200 )x^{6} + (-155387066379640374747370416928a^{2} - 475088798291994826545619023424a + 272066995289903990829815735616 )x^{5} + (-327178633108473318003540870744a^{2} + 366718441376567718151679708008a + 266446893569701967637339122024 )x^{4} + (-189668142954823305940237312928a^{2} - 117560616177960817181580868768a - 583451287733136597635088696096 )x^{3} + (-184190418487688581266872692432a^{2} - 408730777200653367645181840464a - 141097097217295252937653858176 )x^{2} + (-135632114467905561741797460576a^{2} - 279469065931656816761672819680a + 215566905285910063899059761952 )x + 2440265217612603640166851120a^{2} + 108557683189872686432923595424a + 163332107861172730984136137548 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary