← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-177745434786601983697304551824a^{2} + 631235396289948437145407134088a + 350251986649597246211898001192 )x^{47} + (244121181483209973219083537016a^{2} - 323935342037677349501203848200a - 69124152538850817256978415184 )x^{46} + (-528446988914300032948285392512a^{2} - 439018184233773662553252698320a + 440305438250369308390235264152 )x^{45} + (-528557743883005163692877224368a^{2} - 453888202016050890063543916124a - 335473774888754455614287469796 )x^{44} + (-125207190483475894534270816784a^{2} - 592104719932050291204654870768a + 42251954361349172086658228568 )x^{43} + (153284713227090897878080913984a^{2} - 54266811785298023169657350040a - 38065743346348379825615997756 )x^{42} + (574619169524196108479516320176a^{2} + 438738757703499798536560505192a + 403214472205699070567634787392 )x^{41} + (323722585780352033602291749692a^{2} - 556356721615400901827164604508a - 540854929463580199684473523368 )x^{40} + (-571522755113573967044591571760a^{2} + 370768487844363614449696057264a - 378882873710629520218451583872 )x^{39} + (384123521816262814308777406368a^{2} + 432301259885887646536193923256a + 242158040965884250955389944156 )x^{38} + (500819247854628525302617617936a^{2} - 433333282329473987959067855144a - 5139630329514490951331325032 )x^{37} + (-129803407658564806378124032712a^{2} + 230737001327239261135573478064a - 565108334787165619768734313800 )x^{36} + (-459164564352796237662812322976a^{2} + 90638259375531351141903832688a + 77997990996236025956116034816 )x^{35} + (-416958919316601263933528191308a^{2} + 67773797175750147155885380036a - 120543090415041529418432312912 )x^{34} + (-174304738301775089334120015192a^{2} - 117703777195917981489149085880a + 477610550158946551827052016704 )x^{33} + (410557135688786043848535133078a^{2} - 210438765433116739538822487338a - 141607691144117530324859685360 )x^{32} + (-515128830339437808715055325664a^{2} + 437644090550760254314869818688a + 43432494072732252890204137856 )x^{31} + (552041701665503167897239790408a^{2} - 42102630940651229320883116320a - 418174669199307021169656405584 )x^{30} + (-572555595446862828266261861992a^{2} - 305216132948622582127436402520a + 229496285149250946771452239744 )x^{29} + (381928540442586257663614607880a^{2} - 176081227196901830824251854028a - 261986260629794409746164865280 )x^{28} + (-495766529102042664984357241008a^{2} + 239408058403018238627496778736a - 615547866977881665763640199808 )x^{27} + (378219745341899207415056413096a^{2} + 36663274843501347559447279408a + 590138110333977187410091283400 )x^{26} + (585768949474523621593922006688a^{2} - 275837653505086735575914995288a - 595526512605552944033579844464 )x^{25} + (526713562970038724058557230188a^{2} - 483773838655526244791207740336a + 350944742391581330748919059492 )x^{24} + (410360039686081325441963414656a^{2} + 528766930154133865112355962400a + 164870880009993057031539934112 )x^{23} + (441106828893541796903939423664a^{2} + 511384343743173232227563078240a - 368740464701258661703061905024 )x^{22} + (625179760149162042222194673936a^{2} + 584024356453472845489179470336a + 285833938046094129140028150368 )x^{21} + (-330150807311834870636062278224a^{2} + 430671143846951809691605363200a + 101345692813195102383979785752 )x^{20} + (-156481647478630730443859350000a^{2} - 161502828313903003778947137488a + 135270205934016341098967649008 )x^{19} + (422975537904798038471071021672a^{2} + 133161112133852655846054743376a - 485470990519818010591140882424 )x^{18} + (418190535997915109801297771376a^{2} + 177520475829266214369462025408a + 389361917207009734835367910096 )x^{17} + (508738369642640100586566978864a^{2} + 309973665983576476525365744076a - 462969150114832728353079103368 )x^{16} + (332238298905722032752705706176a^{2} - 201618618326796323186240967008a - 579969605994985848791540229216 )x^{15} + (-507178211048819657694078045600a^{2} + 414676975429377916108375168208a - 305030049463715414420799908416 )x^{14} + (-123673789855827351959937170272a^{2} - 626147700757592413512962689680a - 367844371994260056445002870624 )x^{13} + (-408704743088697908418781706040a^{2} - 416004833821701828050351063224a + 420832271745268084199028765208 )x^{12} + (-196030872947479416037411103104a^{2} - 321375387722875191956000351232a - 67132645809578052904583736736 )x^{11} + (68728747802815888885299406168a^{2} + 472722352563797129002865533408a + 440910136955838035089176918976 )x^{10} + (495133786684068184839428653312a^{2} + 552605534889496888054640103504a + 201721532124442451383300592368 )x^{9} + (254860799466820736077274601572a^{2} + 615408625955939382630855334424a - 614888457918081610978873584120 )x^{8} + (-540664589380623028661258735808a^{2} - 54693045573246833268591084352a - 262474388848600580761963453120 )x^{7} + (420219249489399906397223438672a^{2} + 182775284374684772220410617760a - 630886274624439434013197073904 )x^{6} + (111447905741462103763911301504a^{2} + 134637499489738321583172510016a + 451817466121797415427567335936 )x^{5} + (-102408283301111026598963222616a^{2} + 545013989784355016387742345328a + 136247733273022851191959408424 )x^{4} + (127587267264465236641149097792a^{2} + 64072733197353786891908836928a - 174065206333250095853354351680 )x^{3} + (199939377174633534812118544432a^{2} + 273100260975075784035599177840a + 356390096722825498831319191552 )x^{2} + (428661117261956544272628337744a^{2} - 473082891844215378086769267680a + 542921630691631094074541531536 )x - 496011513646918555144986589200a^{2} - 452709107037317239744396697028a - 232148665374737237985501018204 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary