← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-177745434786601983697304551824a^{2} + 631235396289948437145407134088a + 350251986649597246211898001192 )x^{47} + (498512949427232684914073338960a^{2} - 171721712070106533726969277928a - 607071467805985975010356369064 )x^{46} + (-455366622742717213312602898496a^{2} - 504248399194552795884082498752a + 133082750985051361875237340616 )x^{45} + (394595815629446827451913895000a^{2} + 328969500170321724476065703092a - 596417809677313515679287986396 )x^{44} + (-617787653724280167843155329472a^{2} - 533992933465762208733462761296a - 321944771744143676203395321432 )x^{43} + (-426264143167463540179513579888a^{2} - 466083957620445320928584832960a - 14697042630883291435621445700 )x^{42} + (-13924976705888037585321483008a^{2} - 177087307052834430387932403584a + 144493564821022249728998525944 )x^{41} + (-7282614537172527126248681428a^{2} + 628788056229796726468470248484a - 345336839233913551718882538128 )x^{40} + (472335258470150097329315291472a^{2} + 235863402845220272526726777680a - 9572484210976113741506285984 )x^{39} + (-631562320267654521250191734000a^{2} + 429411869341557979124373316136a - 68697864122675519834000103572 )x^{38} + (-397104898398220641597874527056a^{2} - 451024955149452250494165399544a + 1679030576741352640841275736 )x^{37} + (-415284600034424733325609738184a^{2} - 196833897533829098467995285376a - 274113892592359054899539915728 )x^{36} + (193420433611937854846386216192a^{2} + 431394265196959751916385679792a + 469930668277206848189909077024 )x^{35} + (-21812372458973878910227475532a^{2} + 179432464638700135344583696948a - 443413045499024231841860585096 )x^{34} + (299219910645769508806612391048a^{2} + 27159849118859258326856392648a - 628914966535725612599518851680 )x^{33} + (-608964452831262695317565721298a^{2} - 131543299788095672595606215858a - 90229679568758377956764751020 )x^{32} + (-436680037737838610869667069152a^{2} + 300490258704268143345157952896a + 151985219254628152693845081088 )x^{31} + (377468787406738724372186498776a^{2} + 157715975362051477815646221472a - 532595757119182521075219929888 )x^{30} + (-212386579877327505793042588328a^{2} - 250527939834536045631530653048a + 333081643691256032756176973888 )x^{29} + (-54690745024123954845052316824a^{2} + 460874648962631640228391174356a + 65037220292401599810522405320 )x^{28} + (-230140059391237143425060109392a^{2} - 119360052517255221161692259024a - 579157229058596270832324521312 )x^{27} + (-503337833944266579884808347624a^{2} - 184291430048676729194997381200a - 11162180884304535113586991096 )x^{26} + (126837108463710772299863185824a^{2} - 553375011015244129867698401080a - 381407109911327660799716960272 )x^{25} + (-141590573272381392645995937492a^{2} + 367616830241772928810044646352a - 144459851967082011466032063484 )x^{24} + (-236862494576877232132081881632a^{2} - 373085687752678166741743902528a - 339051746354140432686042862368 )x^{23} + (-381916712446454406637734805696a^{2} + 229453302009091397186777865088a + 390895266544532916925067814880 )x^{22} + (-513668901315792204232954275824a^{2} - 339843561728440439825856614464a - 339893994803528588593031252704 )x^{21} + (-491696895266466012450518017184a^{2} - 437213432584138189091000243344a + 251990433959099755844585484408 )x^{20} + (-34715551648120665186918283536a^{2} + 535436971659831451219616870384a - 182260737492266976516676558608 )x^{19} + (-580395833031409116493960613112a^{2} - 527523819069755691545445447488a + 510664200447733494383234040168 )x^{18} + (276289513851502849242680254192a^{2} - 502275438002620848621117506688a + 237497227500033964371136275280 )x^{17} + (-585714200369129166612403522960a^{2} - 525774788957619116682873836100a - 615977912391798072909187337096 )x^{16} + (-55247217934004473441814882944a^{2} - 311983395348085921771720768288a - 32476597575245615842961745888 )x^{15} + (60101027814241445402217718176a^{2} + 370944816443014364994046127440a - 460149132452594593396002329408 )x^{14} + (237830022350076045262728025024a^{2} + 347033354070925700252287900784a + 289900604998583258128966163296 )x^{13} + (-190554113432688790194882772504a^{2} - 461529977424282258064274296104a + 357024102986332867644654986728 )x^{12} + (118746606705339763851307514176a^{2} + 178438982313055545742982406720a + 243477754645525936060832834400 )x^{11} + (169310874515778421427594327544a^{2} + 70975170575762800579794076416a - 56521508524869889885054110752 )x^{10} + (-188655873489632531964203977600a^{2} - 524293033576112420567570030672a + 437981861958816157752932312880 )x^{9} + (-13881994894542213526953755180a^{2} + 41843566131508457936953378264a - 344970622990524561502794185960 )x^{8} + (368986174937628973702743864512a^{2} + 95526749476965750256639862400a - 405552675121000887292788232768 )x^{7} + (-605452695143039424951900674832a^{2} - 478170777678998853489894547744a - 116197656673050558148592866352 )x^{6} + (489584370356737810601526642848a^{2} - 605574357090257185993994290208a - 301961448975829543144445476448 )x^{5} + (-613670751502515044285630051960a^{2} - 302162161077432341340541031936a - 350665943483557525580733163336 )x^{4} + (456375219729038037985353313856a^{2} + 286998196101089762225978868992a + 386031190989394499299949564800 )x^{3} + (333379939218758859675682114112a^{2} - 369793599253250270441661326992a - 94268682738235404413214304928 )x^{2} + (613671282342873399445525469040a^{2} + 536414996046265089924285151776a - 517702871035683924138527271920 )x - 293825288558840319644945051280a^{2} - 171391599593337069632688792420a + 170459449033315488053957699748 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary