← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-177745434786601983697304551824a^{2} + 631235396289948437145407134088a + 350251986649597246211898001192 )x^{47} + (-603730951983744083250965648080a^{2} - 168276847433956735941771556944a + 167204302305919863344103841216 )x^{46} + (-178862109325507498844288474464a^{2} - 124549798569386866853973460320a - 201372975997036821992276304104 )x^{45} + (301050791627764710197275309368a^{2} + 408272876134904233598922958732a + 201791879401032762974289492756 )x^{44} + (464814521240258999468684065536a^{2} + 350380139812640257856286102688a + 369749049650044655483025391672 )x^{43} + (234020628846141456843585960704a^{2} + 129451968076170324211785482280a - 626386069529692028037635126116 )x^{42} + (209740616573676932680988608152a^{2} - 251897037053452760248552162136a + 381040282831156067388450209992 )x^{41} + (-247210301937060150782587628120a^{2} + 115810722157723656092605294812a + 127874681753036093765056331368 )x^{40} + (-141810241689633685795773632240a^{2} + 437805968766183015485153463408a - 44124069734165520622276563488 )x^{39} + (-562440857730972236742544734160a^{2} + 400116675801658533483963338168a + 125907530315556180963018709164 )x^{38} + (127398953911474319449247932304a^{2} - 233078903597779063270388580808a + 454055653030312327819617612168 )x^{37} + (230945134628038247789701791632a^{2} + 32879613930256291449980832664a + 4665572618022906829068148040 )x^{36} + (424959456002616324731064659744a^{2} - 92914736375593980001464418608a - 464756228204866475080960493952 )x^{35} + (-111337080840500236824405359124a^{2} - 461791163078566614659975846316a + 367415097981718292802058120616 )x^{34} + (63713463593709614185974592072a^{2} + 110663549458231471696258535000a - 413232177139958103819130500272 )x^{33} + (172008150538065222919908417378a^{2} - 272751683515004025353581900322a - 233435372897302839137921891412 )x^{32} + (-539083809651107988764686553056a^{2} - 483849808845193987344621940544a - 67937332231856156481658325216 )x^{31} + (-407757019170400411223611774200a^{2} + 399246833324346562974322737680a + 559722176531103380018215344 )x^{30} + (70490065153186054615937830168a^{2} + 477886778067512449223934406056a - 631525038062838958990805775424 )x^{29} + (556732722552515979612102859400a^{2} - 93820744139109721928298059252a - 278123699763995247607398957704 )x^{28} + (-57255643952043964029954323984a^{2} - 5365912471442553844359707248a + 288854150028172412583933593024 )x^{27} + (236903053958623956556743184552a^{2} - 394908330246262047252193457248a - 413169022530633888501439235496 )x^{26} + (-364236064711015798147048925216a^{2} - 362499537561113490599930371352a - 258113628813019200373985304976 )x^{25} + (578328179038974688835540876860a^{2} - 136747199459687582551165352448a - 389632490411521613567242279540 )x^{24} + (577591092621005725902860842176a^{2} + 70679171392038642596364100352a + 518601903293576857486308573312 )x^{23} + (33459736455612246997832555984a^{2} + 172719557054466350749223436080a - 547499984667248910542562446016 )x^{22} + (-593827660666552366163773407568a^{2} - 4968918603607571227515583552a + 147405721276273679522078738528 )x^{21} + (-508027912572727710952417796880a^{2} + 370777145919732969375483942664a + 207508631536860771516823607200 )x^{20} + (289891348230861527851356775600a^{2} + 264636753974722274805259598064a - 302989384447004615428117778544 )x^{19} + (-547513686365591807818866425112a^{2} + 501730664871282105766581917456a - 139555867793238383816826506136 )x^{18} + (181014672723887506280640415792a^{2} + 432179450199381973252768820480a + 333297383781502821688631716304 )x^{17} + (278520136803502222707487748560a^{2} + 579216218963401691671291203340a + 547220581380016650070780283392 )x^{16} + (-514082858619316217209958582784a^{2} - 358347632671952898808949992544a + 198355198236968153723984870112 )x^{15} + (-577692619555931647752884135488a^{2} + 556898501643918899760902376144a + 365808770318553556018441067424 )x^{14} + (-154829297674839598659833741440a^{2} - 122629056957979604581831274864a - 439069104836990445510083160032 )x^{13} + (-502074986221277042936880626088a^{2} + 166444628150494271015816495880a + 329789386274333570506933915176 )x^{12} + (37783168693147164215634996352a^{2} - 501210498935651008771294329344a + 326086609341800345438464925248 )x^{11} + (-365839792425031046040446471624a^{2} + 204831243523350637163673571264a - 49255770912250608520385224672 )x^{10} + (-413879602483351908124333196960a^{2} - 257064074190609783859258598672a - 428744480734374855873846026544 )x^{9} + (175593469728490000240383028516a^{2} + 528027199028735289859037936616a + 244350393539246110245704203016 )x^{8} + (65100371086051928790438880640a^{2} + 91037116986739061723457373568a - 118686502821273563834424718208 )x^{7} + (-9799144458087826833841179440a^{2} - 418874618799433689714775369248a + 597779638387062924850466526416 )x^{6} + (-110788333610996383109213798560a^{2} + 237435359370281195076819449568a - 107313144985906898618440260736 )x^{5} + (-326109057479955006589904886424a^{2} + 556970538752671028917378920400a - 22478168377292873469041732984 )x^{4} + (81893627971295707807253922368a^{2} - 278690587790167710734744814016a - 236161674613262134158216448896 )x^{3} + (246093411952103902546620381344a^{2} - 360480041514597246949719584704a + 305946258153160234116047747280 )x^{2} + (-370914380273815410272240483376a^{2} - 81657002984698517607156325632a + 355371816974317423275735309008 )x - 310022861609693832757694892304a^{2} - 177564661013665161218148985524a + 125078295727042969561495231908 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary