← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-177745434786601983697304551824a^{2} + 631235396289948437145407134088a + 350251986649597246211898001192 )x^{47} + (-519150092186560897767989983208a^{2} - 214312382264095384194481807488a + 329841839113232121389753265192 )x^{46} + (291382886856490654981518415392a^{2} - 72251353039624687587372189872a + 352184492242201933613974627848 )x^{45} + (599637220749795346007405063120a^{2} - 471348399194960858492232375668a - 609408347979821443065817484516 )x^{44} + (504496671220050018055134576816a^{2} + 203241837241732779671107711008a + 24208997657026227063079617800 )x^{43} + (214973416149400172164868037824a^{2} + 351051914216646026217282649056a + 88376111447135766334794656644 )x^{42} + (467259316984720715248615266504a^{2} - 40241141412435074787056956016a - 507451958565400257449606357824 )x^{41} + (-238596401985313523572335932568a^{2} + 145772653270614150084621038708a - 284814608374294933555187223488 )x^{40} + (472636773760643628710399152592a^{2} - 29623376752037696954478094832a + 486609874065791175451588060928 )x^{39} + (-54404235640760942205478527712a^{2} - 358523124539425424772229760984a - 208228699626158412780702919556 )x^{38} + (-167142870379310132760131730736a^{2} - 282372219891948583218869781656a - 268337057874257018116833647672 )x^{37} + (16317724521109047807869559120a^{2} - 356160058787588378873234861912a + 245838138897656364429005807984 )x^{36} + (169886654978601862022911351968a^{2} - 166992861101248720109958602576a - 216182072918080297866633613760 )x^{35} + (142476961523820189090821881660a^{2} - 55048736884900396920385963420a - 79397129560544871526941054800 )x^{34} + (-290362064479122379186006380248a^{2} + 87011951106764650703665796536a + 142341732790935455059964447760 )x^{33} + (560572147209349228704736314930a^{2} + 428057919727399853364197533054a - 17747872525506545390877310872 )x^{32} + (515514401335627501370566631584a^{2} + 111991598280893103249068436864a + 97482280415559074006165399456 )x^{31} + (433367631651828273725953175672a^{2} - 99995004059355541593255633904a - 505794904280050340074752417216 )x^{30} + (44252670199502698809110387608a^{2} - 419853231084875854793984798456a + 519650932550664925841332191104 )x^{29} + (507364429837721583222082467224a^{2} + 736158499336127436548223484a + 583370664583075681732019419920 )x^{28} + (11686410100859429339748934544a^{2} - 72791548982055410253093435888a + 65479131435571790431502511072 )x^{27} + (573105039172171388192168181208a^{2} + 123867555228899571935120820960a + 584647070691161804489311698296 )x^{26} + (122925228174407798964217083840a^{2} - 96685753571609741193437295864a - 79251219790386682582271741264 )x^{25} + (-115080704925093654332892475412a^{2} - 47812658740458829636844988880a - 57611113101930196302081897140 )x^{24} + (64574322167132306810261445856a^{2} - 573928745739818034601454357728a + 316366127155542467833348698688 )x^{23} + (165663131619037866872056429120a^{2} - 553286338545514552892982832272a + 582858735202377239428122545664 )x^{22} + (-544938679098902043717349657360a^{2} + 158687276601342817250998698560a - 446562455682464878360156783840 )x^{21} + (-572738951198307214857914888352a^{2} + 227020152243338920032853243896a + 517989686266720871582649116352 )x^{20} + (479154019039679110915811624464a^{2} - 306388069309280713797176971920a + 441424268073965224273554827472 )x^{19} + (262916380946776105177563795560a^{2} - 306851167075100374371665728000a + 83963120323615956278568231464 )x^{18} + (-254675159330277366728869791248a^{2} - 588919053402778685084012966752a - 351750604149134076237771096944 )x^{17} + (351705354119211318873963897120a^{2} + 182645637144629403591652653068a - 71797460695793819710317527424 )x^{16} + (-574951634017133923003518463040a^{2} + 484103900657800908185119212512a + 261885932218561286680131236448 )x^{15} + (285524708218820997000922721344a^{2} + 22766861708579936132036971088a - 408996424809769750012685860192 )x^{14} + (273318103755890669253810373856a^{2} - 582912552982344222439972477552a + 473661559103689826132752575072 )x^{13} + (364073712436719477643644669464a^{2} + 306933480322853221055784225880a - 524330534935551199858377355080 )x^{12} + (301160392148858477460836309568a^{2} + 129347274820368440962080570944a + 339943136010881486896829543360 )x^{11} + (-339726182385711805115155108328a^{2} - 461168046588441876268475806656a - 448089169928862987622358148384 )x^{10} + (99780840449830644048142730912a^{2} - 171331850631632807940679545264a + 254065247319028783534348195984 )x^{9} + (475974767783518558755768457716a^{2} - 21458275941886209334678167992a + 618965749685909239823457426520 )x^{8} + (472020741888822285601786878336a^{2} - 63902033428613864132484585664a + 107936093905173348892005873152 )x^{7} + (621667048216875586341939387888a^{2} - 104634245123917992155623154848a - 537744010652473728820335516272 )x^{6} + (80767881819042222904983667840a^{2} - 445957617652773078215327053248a - 251781072013496667668756398432 )x^{5} + (-374693969112271361815141723608a^{2} - 129496052940017639611531124896a - 550774972026081844107912642504 )x^{4} + (576426642274989188348782227776a^{2} - 456126232773630370557968045824a - 601901860503875817783891256640 )x^{3} + (-459024443326093289319859691472a^{2} - 596175392292127824618132752960a - 253400523266636880248675992432 )x^{2} + (-175344446681171330950507986704a^{2} + 409173701882546541992476163456a - 595598511582745922912136590576 )x - 208319447990873221216323831792a^{2} - 210915644430383412589760457332a + 475446270213399820963931344292 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary