← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-560789263585874813177955848976a^{2} + 525541162731965205031780799392a + 358013291095419617185544009936 )x^{47} + (110153979636436602492748094036a^{2} + 71912829986336947488521124148a + 600340020396669765082421854660 )x^{46} + (-158473022020944436332559686728a^{2} + 176597301069753293311108245576a - 436688210803268128328136699952 )x^{45} + (-60834727464525043255014634400a^{2} + 332475424571433967312626840044a + 328783174669307071709630614916 )x^{44} + (447999294981764893453574090320a^{2} - 263026704098216848957686694288a + 235566749261308950678534778976 )x^{43} + (-71243915386642844555762419156a^{2} - 52985092781963751539880806536a + 290898796260646925508913001308 )x^{42} + (-574644739532182355307241342512a^{2} - 279122063768412026514855376712a + 534036358399459712165076474736 )x^{41} + (499489284281621219744386105292a^{2} - 170274622512234932005812181104a - 463251358408233440885439092372 )x^{40} + (-162873496925411231650640072672a^{2} - 599810912908096456691874941824a + 213394916414141132080693062272 )x^{39} + (-546340466267460689974194871568a^{2} - 326497538745408936779980167848a + 518523791974672764376086231000 )x^{38} + (69517435692751778018142377992a^{2} - 199732869218729410425000085384a + 24206401038591133514702324896 )x^{37} + (187400887720656572042047147468a^{2} - 129305672003694559086341679056a - 587358516936660324847933173848 )x^{36} + (-171442417824512370581850251840a^{2} - 496367786827437095151519752768a - 514981238672331283897585140352 )x^{35} + (-45729362925150756084833759700a^{2} - 587314858786583189566759733068a + 287891636250813493690582954584 )x^{34} + (622986949866690952538903141176a^{2} + 7459868433882696995424608416a - 90961567294237996872814448880 )x^{33} + (-371273962083616921111206465188a^{2} + 405396441473773940932306017914a + 617701276709707289971609193794 )x^{32} + (3686447686453155268970587424a^{2} + 547110099995129396915643812704a - 185689712869361857932115529328 )x^{31} + (-573113118856436270657241137328a^{2} + 603945891070660473197570850408a - 149163643218468874095420934040 )x^{30} + (-539334995315751084236904948536a^{2} - 343654426429662601330995367592a - 258687081892393953155541903016 )x^{29} + (-54617679668350752141433280764a^{2} - 434826769357429993939759317676a - 71384976937989785739524018548 )x^{28} + (-268160199546077890130293448880a^{2} - 614462452961608814121982340048a + 414112940290534257157958265648 )x^{27} + (-227302153015379386209954173728a^{2} - 393467857436440062337079963000a + 437171682621335552767477220952 )x^{26} + (-539755825738390103891201963520a^{2} + 370424421917406218683929594144a + 601851742424554255687579821056 )x^{25} + (126389432576189232743759751168a^{2} + 512623978165751400293988485760a - 443608208799154863293727048176 )x^{24} + (64004520032130054322761704560a^{2} - 239004852554066502301620845472a + 68303823937312032560653748496 )x^{23} + (-239259888107015927689906162456a^{2} - 380049397584317818070598331192a - 544749932829454358427930671000 )x^{22} + (385491494970052569072730484128a^{2} - 12060714476387988313227873440a + 378318641295893562095882959408 )x^{21} + (61960066747550709072725983888a^{2} + 323361571575219743921912078776a + 305921300033738274680469413696 )x^{20} + (-385451714021065235212104644288a^{2} + 100647198117257268565360520608a - 604892180810186128987670409024 )x^{19} + (256232485859470972725567294760a^{2} - 151543573882302540517705941024a - 149218963884842087751380335584 )x^{18} + (572849565229786048602857964352a^{2} + 47929696332098152527301165040a - 394356918105033411397469849040 )x^{17} + (-73689116136135710847450156028a^{2} + 108269781338393824752440977688a - 471641654986747316617336852780 )x^{16} + (344393979167490941216904220192a^{2} - 237377225570931634666023021568a - 133874273338969299150725978560 )x^{15} + (-166502230023135149289999260232a^{2} + 79771811632700095238310013232a - 131701053243376668347280136064 )x^{14} + (411861354286164378777314496720a^{2} - 631374663569804920357898515504a + 567662547843106870356524255680 )x^{13} + (-26990508555498435691159643032a^{2} - 216982736473206878995137586872a - 87921282501271542485004211152 )x^{12} + (461970652104957155291861958464a^{2} + 80679456317417774067331274784a - 246235326145095790462306807744 )x^{11} + (-535769110070970004056550358280a^{2} + 69382132722078103996302035240a - 81215672308191831166598973648 )x^{10} + (-270917912481043595765374397520a^{2} - 287425813051009938429742740192a + 568378482006543563887813193792 )x^{9} + (7345023194297293034324415008a^{2} - 373890451618403223884595425260a + 159832556905339416970824614708 )x^{8} + (-622228065661647147193771762528a^{2} + 556376585808526854255060190976a - 306859460085418014147328370432 )x^{7} + (-46924411450084816110426769520a^{2} + 602126084435457733503605890080a + 371210573900651344768365113248 )x^{6} + (394478234639438315111959310848a^{2} + 28298646814097276295072924704a - 367345545316618989619575543104 )x^{5} + (295353815361632513590724485624a^{2} - 84724344241075606503415158520a + 258246367711919973544342863800 )x^{4} + (-359925501778359146900193004704a^{2} - 562389140329064079759254400224a + 508236006864950518461750837664 )x^{3} + (517419353126071031080572844048a^{2} + 162441743921670003389592612464a + 444068888996522847677502153920 )x^{2} + (254053595608839955615477557024a^{2} + 527003397415949197184229614752a + 598465361490624583534653195968 )x - 618075318553814116012866570816a^{2} - 322763164073829516427741854512a + 237224562105238155708301364684 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary