← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-560789263585874813177955848976a^{2} + 525541162731965205031780799392a + 358013291095419617185544009936 )x^{47} + (576556020584784884982155775372a^{2} + 434629298634771292515542135596a + 628997435709651528319293073020 )x^{46} + (-425753664916586258383079205512a^{2} + 472028218711813273947557007640a + 211281318713311492175000465040 )x^{45} + (-292657237414073695578819855624a^{2} - 239609927998278812171692169412a - 7567614065633399009106583780 )x^{44} + (14292979769192658121302645664a^{2} + 512447793445570282414983784176a - 547159015243864208079416171648 )x^{43} + (-595322943010367463142017685492a^{2} - 257465486092666146705235910728a - 188571105879354612118561969380 )x^{42} + (-15182494497071999970749626848a^{2} - 16464833193815319187384314272a + 98772606826874478653805270824 )x^{41} + (-284416694524529352394190191348a^{2} + 335747127665671261091462397320a - 554590310145259383891045205308 )x^{40} + (299428844906569682774416944256a^{2} - 355622447346554425293205847776a + 456728830800866695776412983872 )x^{39} + (132662686041266754838842229848a^{2} + 163252417874927205471916878384a + 215402908211610028677240351520 )x^{38} + (-612124305138371127194781336a^{2} - 609892323656227008467892319096a - 508845087498230518157960299312 )x^{37} + (464822843026325093246262394980a^{2} - 21673024121097202950881735936a - 358732482177525335122788108944 )x^{36} + (-303689601624400709431213011168a^{2} - 351618716976421837654715257440a - 157986181500953324555482585760 )x^{35} + (187768503266033704345469473308a^{2} + 424089255359060394924662901660a - 265887606237682664820538086632 )x^{34} + (98027632107023342720357890120a^{2} - 253444862776625649265775624160a - 593071711979927533881427530848 )x^{33} + (-552379187417070267991707631584a^{2} - 478890029467361968407785829030a - 240236474122273788701036820938 )x^{32} + (359870372244759923331092011232a^{2} - 114173834058055904989655850976a + 230477973489971300315810451664 )x^{31} + (467481811353665654367159209520a^{2} + 31471894752154163730267734312a + 339597984306233251005076717576 )x^{30} + (-459596287582137048451643264920a^{2} - 272493400114381483137223335752a + 511508353693534740199057340824 )x^{29} + (587345044113586749017226455372a^{2} - 144818212764908259636714318004a - 485482554761655432647821778532 )x^{28} + (-63061170767193411872112608464a^{2} - 46060178151014369939054958192a + 51053794761739970725262426608 )x^{27} + (-195774081010463867105308383856a^{2} + 367916320080703060994747917896a - 279693376512153212056010389360 )x^{26} + (-139043756025501285230934586864a^{2} + 258823212087820137127496070944a + 353723189890408707145363472576 )x^{25} + (92244954005975645504246288488a^{2} + 581196671803644584965087679136a - 541680832596661322028419362552 )x^{24} + (-263757592554257339299155829584a^{2} - 358881288112946874259457657760a - 563645179071035758975882270832 )x^{23} + (424200326994471310696877901224a^{2} + 582637364798449068063747100520a + 188475801084225790031006007864 )x^{22} + (-232093448717361149785579020672a^{2} + 462620729375192075753610132256a - 251034545550598930473196909520 )x^{21} + (237301070920841588234290326208a^{2} + 199465940121049527876346394824a - 374114362069271569275406961568 )x^{20} + (145279286270212010051860099584a^{2} - 143061602872366566866910594688a + 325629029784222463060843899008 )x^{19} + (-208877530439195679197907694056a^{2} - 499345098670386669726388628560a - 261543266240739523799118000944 )x^{18} + (624023805137858606271746206144a^{2} + 93576213387904895496966839376a - 474503703294507830229004987984 )x^{17} + (161070799859659077414068258212a^{2} - 59051253461624942595359432872a + 579258659796317078450247575236 )x^{16} + (-447019468566336792525977234464a^{2} - 614653168748649194167129522816a - 28538845487068328168282347072 )x^{15} + (-552282035167272383837387526344a^{2} + 371367886320844962861967736368a + 303276206151628007497701121536 )x^{14} + (-407953095104087409301378842192a^{2} - 116244986325698723874386962416a - 82552400988081025790247705760 )x^{13} + (52068106126774609853437702072a^{2} - 529860164711426855825084858264a - 174056913131317515647259233440 )x^{12} + (-303751004069067793678746992192a^{2} + 442517685285677850462973677280a - 223858585170671800961935918272 )x^{11} + (633658168161117181751063877880a^{2} + 157085413070523735609336483320a - 66059040135528360770552956992 )x^{10} + (262396733558746976830266138096a^{2} - 617597144709640389342842011104a + 489877364543578773638552069792 )x^{9} + (396721574447792559575543041872a^{2} + 73411362527877290983138079540a + 22753708236154461767064678148 )x^{8} + (88589292590755184614371366560a^{2} + 325907104195166228459059396288a - 359021785523216991581449535424 )x^{7} + (431859509024942599481031786320a^{2} + 13264390815987771671133472a + 523092136282820615670382599040 )x^{6} + (-605063418306869571045764675136a^{2} - 311138323071890203213189748480a - 256348320637111499582250369344 )x^{5} + (571245711894049401950399820296a^{2} - 357503638916302121452482893560a + 141094019747335722540330476504 )x^{4} + (600980221310152983041604420832a^{2} - 316644793496227890942256643488a - 504748906408261660118101095840 )x^{3} + (-560833018213988726052719400816a^{2} - 357234451733732583786963839696a + 517322529466436452202453529184 )x^{2} + (-193571118320038760446195171520a^{2} - 174914340358319152018324457888a + 374157281672489516338963622144 )x - 90276988203958309682987944000a^{2} + 91680566323471222344324277728a + 306392079797168221042573280476 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary