← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-560789263585874813177955848976a^{2} + 525541162731965205031780799392a + 358013291095419617185544009936 )x^{47} + (310956958674775961641119136420a^{2} - 277167327906931138922947829396a + 549755966686430732349714818540 )x^{46} + (-194381994347238439579232927128a^{2} - 21693856175974144507367511064a + 47372773275508265423063369280 )x^{45} + (556893743559098717159565472392a^{2} + 306344819735154826124239141084a + 87269746901349014000794073100 )x^{44} + (-311186784395248690141303501680a^{2} - 91195260998290047154937223664a - 361272693095099633288166123744 )x^{43} + (-379533876895471398488564961412a^{2} - 536111309193892670810780965160a - 320626444835163687872013139724 )x^{42} + (626055322959617565361074572280a^{2} - 266030476895562617034563975432a - 81236623054582014134801431208 )x^{41} + (271255862689626532057960610312a^{2} - 126022975226313806977084738180a - 196147560362721356696853630680 )x^{40} + (-619053707960186838693906516128a^{2} - 247602887517964720509307264960a + 600810385332436907779317351520 )x^{39} + (482450316882045260443804773640a^{2} - 423830858156200700017130189968a + 31791365656614428019364617784 )x^{38} + (-86632813016992645049304500072a^{2} + 155969796730411480995192434536a + 32947095239728002628532051344 )x^{37} + (-557095256790964035279841750724a^{2} + 313028668044766329311890462376a + 198107393025983970242561152112 )x^{36} + (623021564623560775952302680176a^{2} - 346120779302027842859239838816a - 332910853954110984713742586192 )x^{35} + (136540328385165818016197873148a^{2} - 501406846555452725118530266476a - 376599047096843905297952245384 )x^{34} + (-74536952813528461503744757576a^{2} - 286170925293782175367621600720a + 498313682813167090888684447008 )x^{33} + (279412046088584151726777337808a^{2} + 559528239658369624303552425854a + 136132402149255158413524079174 )x^{32} + (192401701688721589776321101280a^{2} + 610631388331288477188569347104a - 198062896554817593209145989936 )x^{31} + (376100110447793579248027344224a^{2} + 93480054522502092236306835096a - 364252516912343285910869429160 )x^{30} + (160105566265651027609944212200a^{2} - 87699793284885070396365825800a + 477740316704421467667527105784 )x^{29} + (-416914062592972404650969381140a^{2} - 446008190231972862744514666204a - 168796611086271438378011345172 )x^{28} + (-219242842131174472331194949168a^{2} - 631550536878528254793214692944a - 495576876428487722496924948112 )x^{27} + (564853901782900913494502095792a^{2} - 139653405928585867585279307696a - 446068319452027347524634795360 )x^{26} + (611204760411338192666209039536a^{2} - 510890536464446476672533558672a + 473183499717948704278631885680 )x^{25} + (438236319419893859733834652072a^{2} + 387659789573155193399266974472a + 442601004607700469724043866336 )x^{24} + (-576466258292672465278401047568a^{2} - 512416437757413238160758182752a - 617299496763205284784889710576 )x^{23} + (-272199825848531860011516998472a^{2} - 503921630394305416213816478232a - 12657891679232100611646746440 )x^{22} + (-60919408926442420129602092992a^{2} - 501892146956394398454278251680a - 534276038149147035839689379952 )x^{21} + (-400441874760751810126239596320a^{2} + 628731354685258397260412023936a + 249535845707939417312128529672 )x^{20} + (75261039347850194312244841280a^{2} + 290254330046351826071980962464a - 361702763930755416723555812192 )x^{19} + (-103176418954411830328079738792a^{2} - 610836540273440385671808597136a + 603419930003799039892833153984 )x^{18} + (-98066636511892643429740467104a^{2} - 89937952849372680109994129840a - 110047457740492796621015761424 )x^{17} + (-618420542928008193354865703284a^{2} - 397543726735207941524906367232a + 147535856245696572832141418604 )x^{16} + (-237316682368392057378008792160a^{2} - 389970191621988930238391925248a + 202591955468783404700490249664 )x^{15} + (-555681819998530934507947119016a^{2} - 604394413102027906951054791312a + 367822287536387570594676964640 )x^{14} + (283293166236914311898686873424a^{2} + 604687520417043843794665403856a - 171585247956277340755210598496 )x^{13} + (-28662450864909273346098822168a^{2} - 526387475621281186463251278616a - 49197894734308755423077447856 )x^{12} + (-574133862641566939566722632576a^{2} + 99243867128507950850420568608a + 409648580234680321235811161984 )x^{11} + (524497434017876844716382300616a^{2} - 61890478883224905894503152056a - 289202350695202221336639188192 )x^{10} + (-226666391717329786224494455312a^{2} + 366924016505918266796534317792a + 3473552408706152724515376320 )x^{9} + (-168359461633166734692465762624a^{2} + 169217353351082069010212657092a - 252925051040826788259487898684 )x^{8} + (468271713216584683259905834080a^{2} - 396971452561262046164012003456a - 389037536711603178843766021376 )x^{7} + (-361920502883883691316363249744a^{2} - 450578322625888110128040087264a + 370399721204409402509734094304 )x^{6} + (-157282102230699024382659185536a^{2} + 217153252935098401457054379296a - 513577446939983322682328560736 )x^{5} + (35820226314159969341570755848a^{2} - 212429472269877149325365884344a + 360033789808521539952910987624 )x^{4} + (279142578613089659241229850144a^{2} - 104625360727033418224015303072a - 359745106220273190241308294368 )x^{3} + (521473642833919730141351046640a^{2} - 115727298297174805708876933136a - 496451260890480628718506126944 )x^{2} + (-317046914577231363766993037440a^{2} + 241826084069866104059988272640a - 173267575135359518382420606624 )x + 544964576831176398624778477680a^{2} + 484454222909831587329335948064a + 562871020214971911085879494892 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary