← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-560789263585874813177955848976a^{2} + 525541162731965205031780799392a + 358013291095419617185544009936 )x^{47} + (-156138524595321696696022220452a^{2} - 572854304146739537585313616652a + 128379242395148184808769317780 )x^{46} + (-556718776290240853924747888888a^{2} + 457565939501937461852641934904a - 219853516213545757415527553440 )x^{45} + (355726402444926534201378275088a^{2} + 632090236831157476664893533852a + 243176656241145187444113375236 )x^{44} + (-495316297954357658775881413792a^{2} + 486437071312003450184324675792a - 514617926670651827603659289696 )x^{43} + (-567586154573274956330138046292a^{2} - 127643927803949032728326968232a + 258848026310140483037906606996 )x^{42} + (546284854868857328420080394952a^{2} + 225611489576697921720331647856a - 502711108309327064296838792112 )x^{41} + (380430395094567066237398868320a^{2} + 357488808508627467201410668524a + 159623512831428208799820505760 )x^{40} + (-373679807091572534938054511488a^{2} - 11320200848121259138592121824a - 149619969021691711561371977888 )x^{39} + (-536292808514844050575828178416a^{2} + 625192436959554674448573187480a - 178108521958636468874202260928 )x^{38} + (138121814057281070553937926904a^{2} - 108499895856306631609974707176a - 327321352699180353950753627712 )x^{37} + (10326976039169294501461724004a^{2} - 334446631917988625280901853768a + 521819254158052230239458106488 )x^{36} + (549858163529414652995801210384a^{2} + 117387069777871809929602075648a - 536197792887456819856746964848 )x^{35} + (-424692678459251807423911759876a^{2} + 398723072052300890169596928428a - 420331483239410875246999779976 )x^{34} + (-323425412839497265977361950232a^{2} + 102285422590259028585022222288a - 495859503405184816937673861776 )x^{33} + (-213665764353839830186726782996a^{2} - 275079292460598189424988042874a - 106079149838735627029969312550 )x^{32} + (547233660024300614149862858592a^{2} + 461296926711088125563714793632a - 492325850716956116301573590448 )x^{31} + (168094545862978782946971215712a^{2} - 438512739832137303642168897896a - 613417392153952808939127390792 )x^{30} + (-295529514595076768209624335992a^{2} - 145560102056290257302099555560a - 461747048890323156499998843272 )x^{29} + (606912552061549192926347318148a^{2} + 505167866583957119890069316796a - 587464573835552157112453927300 )x^{28} + (-562963151579533042197666273808a^{2} - 6626150154642836669721525872a - 145771503607920490357440349008 )x^{27} + (-165597631313276024283050273136a^{2} + 441189487642061784293512232896a + 412272362321568269214146926568 )x^{26} + (471823211396924153850195123232a^{2} - 24319736933489477131640053168a - 382882665072332517152106509360 )x^{25} + (-444121782847651985972272172720a^{2} + 414089122332514852120636713944a - 7664389743032095359539763288 )x^{24} + (-413363225720312724881658089296a^{2} + 220316920794046099063096940960a - 249491089467556958718763184624 )x^{23} + (-166919982271984049295309132296a^{2} - 282038695471913821197520031608a - 605290511112670481915212662200 )x^{22} + (586622916417714092858788993504a^{2} + 88511477130881326707254268576a + 126166396383348506493743654032 )x^{21} + (283671681535268791720368718864a^{2} + 190493140491497612412307593296a + 292444297972646725999045751912 )x^{20} + (-393624339910816965071902489856a^{2} + 238462775457812578153730833600a - 4050794590698115686426697312 )x^{19} + (71234978415796245049618788200a^{2} - 348425163074818186813084298048a + 245083412666267433440719641552 )x^{18} + (-304437671766958980727925771808a^{2} + 108037582531552114558092754704a + 450559903874544721085731446416 )x^{17} + (73393878816068587352304909628a^{2} + 589908847236668393409020579232a - 19527386925167202430206011748 )x^{16} + (188359548347470944300077305440a^{2} + 383940050390580048792105626752a + 9570109716352030958394947520 )x^{15} + (322528958302967117109348883416a^{2} - 165035430710779095608365527184a + 495310732556564930129306469984 )x^{14} + (-548919405633931821431748962000a^{2} - 548145659462817774339477154224a + 292571155907770457417799059840 )x^{13} + (464188425973843038059492914680a^{2} - 356054276792657451189630432568a + 496982236251122853108247459456 )x^{12} + (163201145277290106874768617984a^{2} - 199146915647620474052042824480a - 554144957772932083356214090752 )x^{11} + (198145287202007553614471265000a^{2} - 264198904864027546717326805448a + 369999603514398477754315025904 )x^{10} + (-123799248568776370965549252816a^{2} + 611513200739660124910470087008a + 529074402873976003561710955488 )x^{9} + (-57730697314350739467870017488a^{2} - 337310936492629148137259117020a - 55554030586788150069175517964 )x^{8} + (12473518723796969775285696992a^{2} - 251924744948724216035399994176a + 50125533347169805118303468608 )x^{7} + (-2045110660494576948079050064a^{2} + 200777716006162164576652206240a + 538364372061338093355176230400 )x^{6} + (296831986167559145099620237312a^{2} - 524988478613073387997247294144a + 80876221866407673040240409760 )x^{5} + (-633547168310198532622258008936a^{2} - 491044047230962188646503204824a - 482492969554026494901623283864 )x^{4} + (468902426751301456143208125728a^{2} + 349462998868385339515933703712a + 439849743616509024268766404832 )x^{3} + (242408290431768890800792460848a^{2} + 499899690604912910268036080a + 409626300781681580053370759328 )x^{2} + (112012074182498295785595603296a^{2} - 447621455674505865356093846976a - 349498064119113037140511894368 )x + 330029064117695569245701629712a^{2} - 196681032735584725083432002832a - 526397383081242896485348321540 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary