← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-177745434786601983697304551824a^{2} + 631235396289948437145407134088a + 350251986649597246211898001192 )x^{47} + (-259441233457987847447543980816a^{2} - 352735054783007400205859918504a - 308597227796835627650031524064 )x^{46} + (-397105656510475879099660310800a^{2} - 430696248822968975403631968368a - 256229881279537102754862732312 )x^{45} + (569801003207689452968168672032a^{2} - 94179997353505957551732504684a + 547595235981537209268729330844 )x^{44} + (585917390025538567988787548256a^{2} + 606361694712610468717508498032a + 388952163151821192875627046200 )x^{43} + (-61532088305545820345376470192a^{2} + 55701488946754831230119174192a - 504570325097694562217041523820 )x^{42} + (628999773797337824050270058712a^{2} - 115214591188746019532592342248a - 14137058636742474593338975440 )x^{41} + (516056447588659451912696512344a^{2} - 218874783962416898510581872472a + 422422524600023529881014958968 )x^{40} + (475148220429701949868922566704a^{2} + 340264185311696727121828426576a - 137736659374947927019740907488 )x^{39} + (513950809031331021114426979904a^{2} - 516181402244438770400440502824a + 577993037039306068021957703228 )x^{38} + (-586273149989039527568275887376a^{2} + 37501654042229882437193794328a - 307908911736553752951546346344 )x^{37} + (183943825002252626198422774048a^{2} - 524266737927914932249610151528a + 630858075842709042174419228000 )x^{36} + (232515079147287935538696364992a^{2} + 12217684908867615356459246928a + 436722818943031719245900852000 )x^{35} + (-93717365274804259655662561700a^{2} - 1967072247942794255909599892a + 597899741213369993309470549432 )x^{34} + (-490118061542841917031007735064a^{2} - 315136113022648371123904969144a - 261273261070550437099532758688 )x^{33} + (588444236567496179330710791202a^{2} + 275819155844185148360742326730a + 40135364205123228065710070804 )x^{32} + (348544789763730558056168299136a^{2} + 614213875771739512648410091872a - 249108130946440317557253126272 )x^{31} + (-446261061149562930183476128184a^{2} + 70905948574754212483751890320a + 141825279355869229988239882864 )x^{30} + (450611614148840280390423159640a^{2} + 160368645187300437788110759240a - 536311252675875348888012180576 )x^{29} + (357076753163287788830425377296a^{2} + 235289934806906477260989398404a - 429515102030853782734438023480 )x^{28} + (495918753695735592591332565584a^{2} + 220115086723146303143190056400a + 401043480146912166329920708320 )x^{27} + (-172689167513454112302037281848a^{2} - 596148767910665778421429748000a - 386075110940723969187096952584 )x^{26} + (-509609626870900645470818216800a^{2} - 270497997227917835525896370904a + 234345589396118644362746688784 )x^{25} + (496021987116842646313750433916a^{2} - 244845231800436828910452638128a - 524177444481655377042938263764 )x^{24} + (375715137237488516335955011680a^{2} - 218935996573140047292027614752a + 155919782193333122275374595680 )x^{23} + (504602895735786754353403739760a^{2} - 180984018014109457138096117152a - 426173094661198566632022328032 )x^{22} + (-389958903461320834815049431280a^{2} + 438577705451741800829226016576a - 500375915120368763595248355904 )x^{21} + (-293155417330290285602699454984a^{2} + 5869803447780045559026008312a + 171239886935864789389425233296 )x^{20} + (347344988119644885194333586352a^{2} - 607969980420427967173858244496a + 406608502850904133259990524400 )x^{19} + (515083063417801182164779305992a^{2} + 614622798100509155927585824400a + 133197149781023552574278871992 )x^{18} + (374470350335576437264209038192a^{2} - 242160753539355007715884873152a + 51625109993765044592551927856 )x^{17} + (-597339699183003035105953554040a^{2} - 555100876568184368905486915076a - 206192098874954739955783208728 )x^{16} + (623693716981865323240175156352a^{2} - 608553872088248526208768984224a - 334436177098816853712752691296 )x^{15} + (-459243821797841380150513936800a^{2} + 524787332670967751871672815600a + 465160863088086164562065844832 )x^{14} + (-321841493249566596341621384288a^{2} + 26365955547100528497841102288a + 622223072343530170129721995808 )x^{13} + (224827909009737475221087792200a^{2} - 130015532460681103811346610904a - 310827366937443336980312597208 )x^{12} + (423044492470437220338111209120a^{2} + 31029027078533843549341048768a - 70423798815726640786360017504 )x^{11} + (-151259356671849814771913414760a^{2} - 168405554301285146705749453824a - 29005972118368229680314794624 )x^{10} + (-455346638123909375738323426304a^{2} + 334835245213906462763577533328a + 555835016831248513198499168176 )x^{9} + (-313342880517335028630340486204a^{2} + 411826545910190969379369282616a + 75884480963259609092900477640 )x^{8} + (-271888825201247269326230406464a^{2} - 333458608149231538553188653120a + 553766212357654662041773435200 )x^{7} + (-109442714388735221347725737968a^{2} - 193199011561029417612232363744a - 109869779076519412578243509264 )x^{6} + (-247671162876546805163149484288a^{2} + 339521339027014864675246128736a - 152507344967655760002122553952 )x^{5} + (580298084231837808547838726712a^{2} - 262613174616314681364886603872a - 587160106529522024392117014376 )x^{4} + (524654030550554785820887499200a^{2} + 21357237978307948790306454528a - 208742006498551793475098158016 )x^{3} + (-332496548171394586428470754640a^{2} + 504962891566627391786276087968a - 168135784403855747537656278912 )x^{2} + (-609013974636008333910728895984a^{2} - 569508042454507569219976630816a - 44048925612411869794999510160 )x + 522124489085797433568443566880a^{2} + 42098124903940128413919183580a - 551317537005806561655939013276 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary