← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-177745434786601983697304551824a^{2} + 631235396289948437145407134088a + 350251986649597246211898001192 )x^{47} + (-120639998126771852189249947560a^{2} - 311074521783998279287230236360a - 140499044353314259030359081528 )x^{46} + (-383203577020291457510093140848a^{2} + 382799448668887924305095576736a - 466720924147571662644765429000 )x^{45} + (255729108053995668323298840536a^{2} + 250876358686620340604720483428a + 95713522340850206576447622884 )x^{44} + (139711571654456552417562486224a^{2} - 85700393078972623540158683248a + 455187078486217246155504123208 )x^{43} + (-296920367858416035437635784560a^{2} + 530301948090516741972211224680a - 2449535029696005758236408916 )x^{42} + (413805465563610031602953518296a^{2} - 331521103796985113906297691792a - 302731743467246063916932305416 )x^{41} + (-174147112618794994797524967432a^{2} + 370306753788167108116004250800a + 163741874559364216347828911432 )x^{40} + (402310126751525080437849484784a^{2} - 299088140692012276018980680848a + 335553594975176620985987568000 )x^{39} + (328264551000199073224034106608a^{2} - 231449738391230161593145480952a + 545796233852978398619105830796 )x^{38} + (-524405178904940789435576000016a^{2} - 321374951109771494933489362168a - 276008991529315077833704920424 )x^{37} + (205315876650508778602480093872a^{2} - 132417786315871141735679374744a + 266314124554143038419014456056 )x^{36} + (-399921547701892175799187287072a^{2} - 493442583190235008698046339632a + 623455664849187616234861728096 )x^{35} + (2559994208284933009870402188a^{2} + 178060149120527052308342302108a + 144617009054258604670376414048 )x^{34} + (-564427236586281341348697585752a^{2} + 394910869680910293840309206376a + 122099074175080803184261824992 )x^{33} + (-406074940928712200768723887190a^{2} - 496461651532072632683959740742a - 162901433460585668881182819760 )x^{32} + (346754083358767319129611363584a^{2} - 328071050695193800214967087584a + 555441210817937235994895552256 )x^{31} + (23065386157320332086192734072a^{2} + 133476359122688550580679287760a - 344024939736087739847002602688 )x^{30} + (-341839212321773874947649916776a^{2} - 501317734768263533838118915864a - 38067427522218651356512455456 )x^{29} + (-506423490869590374398499076656a^{2} - 529398854087137396605795880780a - 291909813772355495332971461920 )x^{28} + (419529922841463768940786380464a^{2} + 422366424516698248746471432976a - 265251870387414281674583368576 )x^{27} + (211403057343039071586610538552a^{2} + 336954580203637234366844088256a - 494685126342809181429987534152 )x^{26} + (-4719878655285816300303475424a^{2} + 192875267321098207145541805384a + 164744165399344686977809111600 )x^{25} + (92674405352784814075741449164a^{2} - 311057249712295637559365990320a + 121161553606427987124371909980 )x^{24} + (-47208693879301020041915449280a^{2} + 456410542467236124764078725376a + 544938520948631720333082346464 )x^{23} + (-213779480776531250042405521696a^{2} - 539328636992811371515036181952a - 229053762178184481031593530272 )x^{22} + (414575290568106154560976612944a^{2} + 382732673279835261894074129472a - 170766818789034445603012291200 )x^{21} + (395934131364392096277278334440a^{2} + 320094585676342724003458502024a + 275484646858715414310897723088 )x^{20} + (-607819969195739167314545202800a^{2} + 576263092420364052019190285936a - 304269688066418711745685901008 )x^{19} + (447885976313315276263834146728a^{2} + 164326380666636763533312546528a - 141798482429524299450802898920 )x^{18} + (196414764845935439952340642704a^{2} + 468851541829935210264202490400a - 471976115158551736095383831600 )x^{17} + (-50758010629960124708447828872a^{2} + 102870410426591368517345505164a - 298672180773170172668903863624 )x^{16} + (-550423118329626774616574509888a^{2} + 187945408112061637686957432608a + 93322665256943481305418085536 )x^{15} + (211486681687903450449870190304a^{2} + 86765092516232254531343864048a - 421627535717254295718289754080 )x^{14} + (429348895095136536842182157568a^{2} + 279613006758936842935570888272a + 342890710301799654773960293792 )x^{13} + (-397093436052272787556933620856a^{2} + 237799779798108980080255171480a - 566972394215447110717127799400 )x^{12} + (-195522293604959865876991369120a^{2} + 298790940150548529395868340864a + 324706391052025453651824680736 )x^{11} + (208815753776309631681277014040a^{2} - 200031073421727582056610226560a + 505948772717666138589762056384 )x^{10} + (-565302385421185188268666923072a^{2} - 319489109175226978495360381200a + 66230951772906792640935082544 )x^{9} + (629655700520288337049121753780a^{2} + 155992272803761086967663930744a - 475295605977661595770059798344 )x^{8} + (306251804865833911327700676544a^{2} + 111839130319466542315610263552a - 487078264647893691366567573568 )x^{7} + (-134739425529673390941252530576a^{2} + 283135184314498978323002383392a + 16101650852709258984206673840 )x^{6} + (-437531738782292614052361468704a^{2} + 248100119340634702112846328768a - 331118479096799238614719931584 )x^{5} + (29167122398463239889361085528a^{2} + 563211418540953446638197636784a + 484142821871592988879533992712 )x^{4} + (44899329661120294143060791360a^{2} - 24468858100144007681568179520a - 333836299839331038348109060096 )x^{3} + (131349288589934004449440626080a^{2} - 122038608871515906223498916416a - 522339815235142206832313544768 )x^{2} + (371940226440991679377368848944a^{2} + 368185982438483469452050742560a - 428761602283782647289726574224 )x + 386170265233523268168573865664a^{2} + 236256126538815981722206687356a - 263874603448266344188234029052 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary