← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-177745434786601983697304551824a^{2} + 631235396289948437145407134088a + 350251986649597246211898001192 )x^{47} + (-516782638416677753309663858072a^{2} + 356677779006781648366706259856a - 424448383835402075758668361728 )x^{46} + (553981216283216813231396015600a^{2} - 370675207183659320510108985568a + 530067814165368009006930077352 )x^{45} + (377850506143495028410691643688a^{2} + 594414538006331517385305052540a - 199270117010488868711435719484 )x^{44} + (585920155211522885997209410224a^{2} - 620117507743678780876561435968a + 228479605773906109697375900664 )x^{43} + (-102190675473429642711680154384a^{2} - 380219523524418951523679356544a + 628324370643900258436258583324 )x^{42} + (-225091882283349134678106456272a^{2} + 573395591579435791822678446952a - 330862378868710228509261125064 )x^{41} + (577534207315192674931048584012a^{2} - 230796812408969511391819516560a + 150257329840067608678961471688 )x^{40} + (155692923836968526214561312240a^{2} + 263710483178766932437616164048a + 520301799239226919149861341440 )x^{39} + (-587784387796810526335492126064a^{2} + 401441257582154939449662349336a + 397681755716592154769860579084 )x^{38} + (334502761909481147638476937328a^{2} - 148280245513340186621548630056a + 49557590000220922637890292424 )x^{37} + (42704872408481854937406317048a^{2} - 591038615800923348215623141664a - 109194323412027111953240756160 )x^{36} + (-427583928390052488114583787872a^{2} - 150714871116012449317267395760a - 171693869055305489395346026528 )x^{35} + (91127125579655497232807612052a^{2} + 43096163580152403453462563804a + 601014550689221677502017728224 )x^{34} + (-79393095653898037701219098808a^{2} - 159790101152964335383098291336a + 294139401332138404542237680 )x^{33} + (-429400552402993029691532246970a^{2} + 233831895350677477818353665546a - 488868565180201309861009701928 )x^{32} + (25505751431478573376602126528a^{2} + 306647041865701837756821533792a - 100203815057158816344018892000 )x^{31} + (-10927078992846646209867515128a^{2} + 185807935157158563525484355744a + 575404519490899512703119573520 )x^{30} + (219456650858721173485408423192a^{2} + 335804727367717671645429250824a - 395006019758851739036962088736 )x^{29} + (90893223916439223583443492848a^{2} - 224218188339496672362947475828a + 68064219979738173730698904960 )x^{28} + (-495132999697936924195743270096a^{2} + 97695986797848809224089431600a - 162367539821648646763431207392 )x^{27} + (179594560609623363483576362440a^{2} - 569580150876945999530217670544a - 257039009038794781855689470072 )x^{26} + (-273837647346742443697743635392a^{2} - 360778690653467850611579268280a - 371451970691973796257869988080 )x^{25} + (-279549932740409291658569969412a^{2} - 219071557960108279505691616944a + 538880815654225331644238274020 )x^{24} + (57518942617122810991817095008a^{2} - 499703813526460362374781985088a - 408759712082027010544139077056 )x^{23} + (491521926660163376349334043632a^{2} + 366986318422653137511090051920a - 558526754340030980538630210752 )x^{22} + (-204679123777037829346360876368a^{2} - 313421797489092909470615633536a - 26189629732223015846759253248 )x^{21} + (-440925126911067369960665926888a^{2} - 417080915902480273732720706432a + 182391693956186624207163340824 )x^{20} + (-212363531351709771953075449712a^{2} - 498522455479037385548389733712a + 317722010117227443002441718096 )x^{19} + (-94115337995100987039864468984a^{2} + 127146481553938500056621544720a + 306182160966708512303696885912 )x^{18} + (337356072819467108438342035568a^{2} - 291686364349622075164048245152a + 136311952631278117781675590352 )x^{17} + (219467559367277207957236793624a^{2} - 67249101735986716220633818852a - 580327227104217231115591360832 )x^{16} + (-540451856234484791442282478272a^{2} - 506218660127037546608886481312a + 103782553878607657318083848928 )x^{15} + (138914244099538438224191684672a^{2} + 416792944108785752774583949744a - 294834280300549024715949288512 )x^{14} + (201290599429465951161454600832a^{2} - 486644597814491060843334788112a + 353390295169321607543015662688 )x^{13} + (276999976138775586765503577496a^{2} + 269201309918905553884862613448a - 580295133296565043260249626824 )x^{12} + (-342466722175204006147242276064a^{2} - 614167673047361721563127328320a + 310286367819185130113523363072 )x^{11} + (442390611323865115280678114584a^{2} - 432832306676047396968070488640a + 492459770682189816052993738784 )x^{10} + (305026998231062453553168082208a^{2} + 625631129562875163891572211888a + 445847391417225823809979993040 )x^{9} + (-616444518778821290231397129340a^{2} + 194549862474688000861237342696a - 549726040125766209172901496280 )x^{8} + (172655774263818803037590014208a^{2} + 428939683017166593531578186880a - 61609163209423943851617763968 )x^{7} + (-258422697869998430293591704112a^{2} + 450734388976560662111662421280a - 294740865733344710750933665424 )x^{6} + (443112232397078417005058304608a^{2} + 514000297662009593290579388544a - 583521033714530869174602639392 )x^{5} + (474758923027237992634246408664a^{2} - 222234547215055786687165730688a - 23162707924734133970762715432 )x^{4} + (-575209473221774232676153272768a^{2} - 71212023351759432446438703872a - 214450568484937578994380304768 )x^{3} + (-18984247902552181153447656288a^{2} + 535617158501096141434467507728a - 256962103735284528466978591696 )x^{2} + (86902058178611507540796911440a^{2} + 174016718723261124893324960448a - 189036915995680108646058248848 )x + 382097481459415977048439918912a^{2} - 134259521001958839551080801620a - 477660534490608523501219101692 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary