← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.63158_153922_176116.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + ((-72680240386078642383912363286a^{2} - 171626124055694204160563346911a + 268654749753990172090301802016)\mu_3 - 212951455224619029287041161617a^{2} - 81865260756380261555800848403a + 56292767240306381290389796536)b + ((217254476527100144526056168093a^{2} + 311515133049095746508385438711a + 33730177602719488856266342565)\mu_3 + (261976460065943385252455001559a^{2} - 191289282220291569912067725719a - 290824638600842370175847865482)))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 2)b^{2} + 2a^{2}\mu_3b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a + 4)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + (-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b^{2} + ((2a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2} + a)\mu_3b^{2} + ((3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + 3)b + (a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2)))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b^{2} + 2b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3))c + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + (2\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a + 3))b + (-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2}\mu_3 + (2a + 3))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3))b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3\mu_3 + (a^{2} + a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 1))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b + ((-3a^{2} + 1)\mu_3 + (4a - 3)))c + ((a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + a^{2})b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + a - 3))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2})b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2)))c + (a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + ((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 1))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + a)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-177745434786601983697304551824a^{2} + 631235396289948437145407134088a + 350251986649597246211898001192 )x^{47} + (420298063779550480270948377792a^{2} + 1442715036191580437423904928a - 365079404252864238793376945688 )x^{46} + (278601455613607241766505327888a^{2} - 460922998335698658287266030384a + 531595305799045009945674277816 )x^{45} + (-134811557651293847378570906448a^{2} + 532511301353860163064569392284a + 232969889524967226735221639596 )x^{44} + (-137641209255428085518237737024a^{2} + 373755518439849504780643987648a + 600424041569564380386620989320 )x^{43} + (-522604449395397813838104029792a^{2} + 78237728989599718244542787768a - 53001993694465301933724598236 )x^{42} + (-323288881291151596647728263120a^{2} + 367551074575523963346439302960a + 330849049734205561351029600000 )x^{41} + (540147146766060500258985562060a^{2} + 592387172548031115712937125520a - 366909744235736475010575045528 )x^{40} + (-395348854615033752481654037264a^{2} - 18375131766172324869088505616a - 580665022497462451613097335520 )x^{39} + (351352184062223746418184274368a^{2} + 384204395740168680786742044808a - 150888754269327512749888288548 )x^{38} + (345686626414385221103331817680a^{2} + 527969960254515273605934753288a - 293076461154623624820087429432 )x^{37} + (-501609609984203254082200338552a^{2} - 316643684066397657849314732976a + 573836484059085710603947119496 )x^{36} + (312167899175373318570467893472a^{2} + 167285164427868904120118053232a - 576608836710341466395063355264 )x^{35} + (-188542330732225125189771211308a^{2} + 499744168909868569356105040172a + 14221116808282632629099875752 )x^{34} + (-411578969204054715496442230904a^{2} - 219223875066843243911315599560a - 70224024317955466159828299504 )x^{33} + (-170141601607989133729557307098a^{2} + 551726493166978090196102582354a - 234262441786895285071127523220 )x^{32} + (-461566722699992305202454690624a^{2} - 416493185536119266153404385888a - 553472964608356898552828050016 )x^{31} + (537813233682728304968825304472a^{2} + 271907655808777390635745731360a - 228533764861066991804299154240 )x^{30} + (534260933780717008726072492952a^{2} + 479680966228443171966676535336a - 425228595117051009255827607904 )x^{29} + (394176036861872988743398461856a^{2} - 500525409320803762873160981396a + 178248747068058473033006381544 )x^{28} + (-416993039983946221857504589872a^{2} - 170501956590847364619097356752a + 494949572575293531279140837312 )x^{27} + (433775882452757291675805505080a^{2} - 543043625556472052811565914928a - 535731232220800466162408914328 )x^{26} + (237590657841847933551265642912a^{2} + 42553397923299615699984905192a + 239271174973276851618099226000 )x^{25} + (535367089691988508520205575836a^{2} - 260797113808665227949945780512a - 180665245586286668294712863692 )x^{24} + (478945470402686085001973944192a^{2} - 324150723859008565960278495264a + 195707979562604520522481127104 )x^{23} + (72737725745930165840345384448a^{2} - 434574299990595065573707822128a - 81364178581557603071539593504 )x^{22} + (145620359238589717594206268080a^{2} + 434864658405343286373070898368a + 110471565020898433864527097280 )x^{21} + (-301754687900800088062377725240a^{2} + 438041539579042527789283103408a - 253199219930010351137125796712 )x^{20} + (88507077902503323185371699568a^{2} - 395069075577904234961109553680a + 12473676708748161548917620560 )x^{19} + (-9200971350272037423786533176a^{2} + 324740062220286088010950334112a + 300988017432337313666090288984 )x^{18} + (26116872012457532409310807056a^{2} - 588790800212030504855864917536a + 202029067312255983864778880816 )x^{17} + (154283258741487771420428561816a^{2} - 3146052283701902983198575300a - 163175329758019633112312199504 )x^{16} + (381792434470527550383882690432a^{2} + 135635256814250181318668301856a + 450790657016060711395998873312 )x^{15} + (-655036985129439507182215040a^{2} - 372763750754986319659921659088a + 40609811076842583140090376576 )x^{14} + (-312633133446832494209624450272a^{2} + 455348615719308743361776344944a - 61624128237900043411323745952 )x^{13} + (622537176118962620219103973688a^{2} + 231465835348948498010108183288a - 28860282277554157133360856600 )x^{12} + (-146207835073202828547265179808a^{2} - 436465075035108668425325228544a + 355071977003848025986296688000 )x^{11} + (86998253193688243483176470424a^{2} + 416638843508237288010393581152a - 21410700335470797786535046400 )x^{10} + (96995778427561592851140982816a^{2} + 128772066975697148350468993552a + 608658665434262222761900077392 )x^{9} + (628103651330330138556918035412a^{2} + 256754655051316331169107768968a + 524026035374769752151075332888 )x^{8} + (584314693610813361963222853248a^{2} + 15634541600870386922572565184a - 599323630015814970064451873536 )x^{7} + (-258653501964817826665210503248a^{2} - 576054360322068358416125222176a + 254630790231060170384300292912 )x^{6} + (169571526057716701410744240576a^{2} - 442316970020654396114847399392a - 242897543466874310124348870784 )x^{5} + (320733584904943438396863705880a^{2} + 245575704257411549641455520784a - 56076820943768327375097954200 )x^{4} + (-9458889768363768454465812800a^{2} - 265223343278954860616889451328a + 379986066854228574874086966976 )x^{3} + (-333892544659007030975169895664a^{2} + 258769556202162271738155898864a + 362260424694708509570119483536 )x^{2} + (-585043956940199719211463362832a^{2} - 141242696135001970196854010880a - 397147751717567176012042240208 )x + 98373735963127344296319602368a^{2} + 71796608304161137319553337644a + 158283955966782245754194164452 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary