← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-56137711068736916197286352096a^{2} - 566988502474570150561340760840a - 243161762375920426043188125616 )x^{47} + (128797573796249563774960965660a^{2} - 539571388928527981053607077676a - 411356163713993408788418878328 )x^{46} + (-66618314193585379745143168224a^{2} + 299356336616737428657331969472a + 547956474252025051751617837152 )x^{45} + (427082838439423309325419784812a^{2} - 216327997793684600690783363100a + 135212784998734761938567922904 )x^{44} + (-100901833602904620287087856024a^{2} + 347058603735985787909832835496a - 492810386839219062408873693776 )x^{43} + (596635052787135444340190748400a^{2} + 446682790271639012762706307008a + 53653085634723067879774749068 )x^{42} + (-117348878124014059982063932184a^{2} - 598088834716101683200080301120a + 491825064820704369592983753512 )x^{41} + (400776244505241009862851289584a^{2} + 184872988390830536877410570176a - 509321554122510522729307718312 )x^{40} + (282052478760075284445293244000a^{2} - 452238105022085899582972700512a + 65849022880144715670930102128 )x^{39} + (-575951960481715262554152695440a^{2} - 590670376294897618288875117476a + 590275072833982848063054012416 )x^{38} + (441751492408243231034214716328a^{2} - 399940964169936500361865198608a + 400351506307862404953625252224 )x^{37} + (-161092824340895104047469404824a^{2} + 83702255679717644403843460424a + 360331519588104214025558529796 )x^{36} + (386951305916557294615491457808a^{2} + 357122689096098663073303210768a - 488682678784009968091295354512 )x^{35} + (286744607794444479035671626124a^{2} - 572684689018276247476463294028a - 425645538322714780047323100936 )x^{34} + (550193530128798546861541965760a^{2} + 2161099649711433545599163456a - 209611769228866303284743816584 )x^{33} + (-327135960576719253123222296852a^{2} + 254359688244423129485655185314a - 313331053755480669610857796544 )x^{32} + (-56025827886575425019709935952a^{2} + 286167704012028487682990300464a + 97305712501869518326159681472 )x^{31} + (292536972490323388687961986624a^{2} + 163188186460741897460260343784a + 501987879789896854234374343824 )x^{30} + (-275535635714191925524344268768a^{2} - 480591414555949390576891733160a - 555828556490460591814670657968 )x^{29} + (-319552390279736065700164594900a^{2} - 452022246215616004132117255068a + 146118097069123471269505533472 )x^{28} + (-576356106983833215999492937168a^{2} + 526106704360333750245565526192a + 145833293087048103310235264064 )x^{27} + (-228742334150571983308717958464a^{2} - 483437346659664504668415271984a + 343097469543729734481279512912 )x^{26} + (-67308356038701016760272114520a^{2} - 553345761134277469836084763496a + 478403445301807691297251954544 )x^{25} + (268334908410845917343702274528a^{2} - 434108202138155074016454923016a - 77290146208408479660038258820 )x^{24} + (-427978193001486712317702333472a^{2} + 254813832493805835604066594784a - 177195772408001107017988753440 )x^{23} + (-123956642508190492396371551592a^{2} + 529673482426390135402775333032a - 171238678339519178678074210992 )x^{22} + (-197454291494031985404351859728a^{2} + 128654216669092630929412519120a + 544250448053619379505074243008 )x^{21} + (-246133655313596725385463820336a^{2} + 392526071163801812210850428776a - 437932179855113024470465782656 )x^{20} + (-282619731689932358239341622576a^{2} - 350380397996708585508758687344a - 318543671816215730355480320352 )x^{19} + (375295824885685105985694860040a^{2} - 480468456007318360039436593608a - 453771357550842874498154185336 )x^{18} + (484557110571705537857446972032a^{2} - 184909732157776182557758421568a - 97729452771052171721266949328 )x^{17} + (-110128659460160777877232162832a^{2} - 202632754060181521007151828432a - 287767083301161431948426816076 )x^{16} + (6191656792557853503843014272a^{2} - 262205504802688379568854534688a + 227127594137145042735015390048 )x^{15} + (407628789746540398905776039408a^{2} - 31676780668543275933031308576a - 48930133333259929955986438512 )x^{14} + (-22467894626468889450245107856a^{2} - 112291178530687990686589182080a + 340440983311634832473528624448 )x^{13} + (147327446603856684692771107416a^{2} + 340206613531933474882428139080a - 630701215656769989841193634424 )x^{12} + (-629229526805443054811149304992a^{2} - 584331932664171117601305049312a - 549656123801238900435021327904 )x^{11} + (-416950841040888673503430674568a^{2} - 592484926262381363488011833272a + 428743506777483596904747267104 )x^{10} + (137748482415468980251615106128a^{2} - 532643154723937953044357967440a - 106339462423909125573384409264 )x^{9} + (-422808005861826426061813490720a^{2} + 260115028570188323284031255628a - 631677155708299526334864189312 )x^{8} + (-426687658395058596135383281696a^{2} + 456586836019471407795758173024a + 173143898949193842917897357056 )x^{7} + (25075375980248558553283294224a^{2} - 135494225728580317595098875936a + 400961463140564721517608735808 )x^{6} + (-360194263030683444179029368672a^{2} + 440471339685498505174148425824a - 490591853958472062538319231968 )x^{5} + (-243793720700781846477641676008a^{2} + 497020985932627473288154826296a + 505380122062693776238659478048 )x^{4} + (-407127178996989979816424576960a^{2} - 191503308909656263161153240576a - 372662931424781043804402861760 )x^{3} + (547935203647460751837941190768a^{2} + 4719068366846766023008848576a - 379990539530895148347603505568 )x^{2} + (73031782311765144627097057200a^{2} + 62327828703023528450298192912a - 418911738482511560625729672896 )x + 499106975724219358491511796288a^{2} + 493275636150658583534256489712a - 2976891375164073362617322108 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary