← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-56137711068736916197286352096a^{2} - 566988502474570150561340760840a - 243161762375920426043188125616 )x^{47} + (-104569632170905853511615104780a^{2} - 324911516849308729114260451948a - 237089186519287765846039696600 )x^{46} + (617740246776081809593221975712a^{2} + 354451324064423824470882749072a + 133214155091676104019065039888 )x^{45} + (-211191980731108404028171028924a^{2} + 82765842599825688474349955604a + 502519708687494544914336286592 )x^{44} + (-243613852541147786121366142888a^{2} + 503879555580079759634611718616a - 548041581624372321357607604016 )x^{43} + (579179650232580372687915336704a^{2} + 193861700582730931753062023440a + 506287489503329760163798884764 )x^{42} + (-597877500160827448182592252248a^{2} + 55010297111163502000173778840a + 233203910526055049984346265808 )x^{41} + (-506530569768352755087306991320a^{2} + 52302499764534296176244746260a - 183361788301912087260565926552 )x^{40} + (-510522399984124128915474965600a^{2} + 32884623557932467864046968960a - 129964656480177710050830948112 )x^{39} + (-48841570594820786633288888752a^{2} - 527003967777092233244771677380a - 578261127652292571871688915424 )x^{38} + (-161917965426314308154138165592a^{2} - 189145064644116610773541999152a + 264583523313087264841868425264 )x^{37} + (334659223335503604789871021640a^{2} + 602088848227127475654714860064a + 81612218335483899896526091196 )x^{36} + (115674567663250240694068586608a^{2} + 565076535052710809924457466128a + 615576376965915834278063295824 )x^{35} + (303873939824336764872001433236a^{2} + 372012328323098336068790691180a - 206970964790307547683522182000 )x^{34} + (103918314666818539677176131360a^{2} + 344068145110448450303737874656a + 12629223792427538423735752312 )x^{33} + (159731141051025389637023987040a^{2} - 298256783052897082438335924194a + 608143650835882988276718995684 )x^{32} + (319252302919222420955275530288a^{2} + 340577369454421088414741548048a - 275256444613995082645863171104 )x^{31} + (425162361914132417685043641408a^{2} - 203767873887913567385360102808a - 268860498963179865130442720496 )x^{30} + (259075792041491060501509685696a^{2} - 339777129215845927018915791016a - 166919364805066771010765334864 )x^{29} + (-262896501595831294314855228468a^{2} + 407661740607154608157215207444a - 336487792433125660506714573944 )x^{28} + (-510924419072985912575477225840a^{2} + 53918159832356839793015223344a + 473829729288247818641076690176 )x^{27} + (24650635582885139925374681712a^{2} + 158277674288009227144158380112a - 545679785143212391601330195424 )x^{26} + (-206376826835681989047177196216a^{2} - 330554073887345309561540640360a - 444002829801306472257338332656 )x^{25} + (-267267422867403942738187553584a^{2} - 30665896109708909972454852760a - 521458440684890116594554932 )x^{24} + (-94502982402504779362623062912a^{2} - 587038975175244119576006267776a - 419438213618137019154003119488 )x^{23} + (98751753498595972447277472504a^{2} - 6360709875774331016539216360a - 399222864648529441264032162592 )x^{22} + (114618779349498028200628300656a^{2} + 31338142166568255553967175280a - 20691198428768496627148304288 )x^{21} + (49885867262528542206470300088a^{2} - 313666279590947236534016040224a + 449465326531257491531795495240 )x^{20} + (-613288746114215537849125489232a^{2} - 190338522906392597996532944304a + 576454791431294589066784613344 )x^{19} + (29614395392130736984718703048a^{2} - 137713929172024558828450623768a + 568930728136901606805379030968 )x^{18} + (-421429922854471534999527400608a^{2} - 364329797221170795875174956544a - 609304588106732459736311255024 )x^{17} + (-600262695894926113314199515840a^{2} + 55202774623148171660334358200a + 559359722549004315172331563140 )x^{16} + (283239052052476085330825099072a^{2} + 629363899692087736689805160608a - 140981998192126094293625831840 )x^{15} + (-351088310520158109055196184656a^{2} - 299111541662560105039636907296a + 222809268315908376393069404208 )x^{14} + (-18255990853106889351450396304a^{2} + 339230832104781206799757605824a - 153169637776441171246335126048 )x^{13} + (455529131625022998775442851608a^{2} - 178534553465104871334025840936a - 497211127127254324425836741896 )x^{12} + (275502249561012007416006641280a^{2} + 306943430312186016327853708096a - 380982739948356100205093013120 )x^{11} + (251033111843711570005501141832a^{2} + 402353699469063282515685267112a - 214888704052534849853679094992 )x^{10} + (-195024396084361390852187840368a^{2} - 173350019187336241230318775920a - 357624176581030852863182765296 )x^{9} + (-101192460107174057330547645744a^{2} - 386363713875349094397971823796a + 567737679487063535409924989264 )x^{8} + (587396050401880994106996982048a^{2} - 346573022660048398008368601760a - 533187250589894478995421662400 )x^{7} + (368733802903485894478836444784a^{2} + 162559797380570989641692376672a - 485957658853178997304501592736 )x^{6} + (241050867736138001320463523520a^{2} - 266601446487990995908062991296a + 535154340268422622737234166720 )x^{5} + (387988464120849756764065078040a^{2} - 361490734077136653983635558168a + 386394721740643257853885369200 )x^{4} + (17584144094784158356864928832a^{2} - 579077012091715787884033712960a - 620951389607919476985367815616 )x^{3} + (-7421829741473799550305040080a^{2} - 512695798057301454171889772432a + 201938568492877638032035713392 )x^{2} + (360422510407448467360654619888a^{2} - 147509389211151640274666707664a - 422637193806078549554332866944 )x + 244463682039277883143458659584a^{2} - 135193384232225336280956556848a + 107549295010075371162188172740 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary