← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.n

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-56137711068736916197286352096a^{2} - 566988502474570150561340760840a - 243161762375920426043188125616 )x^{47} + (626108547196434851633549211044a^{2} + 448501547953017545089872516492a - 217944976421645992236328699192 )x^{46} + (-571894088581801617392889481296a^{2} + 470456536988190284747904254448a - 65243074535112557043186010544 )x^{45} + (-404356557894524758006664106100a^{2} + 619828108690975484453473238364a + 363223828184282382335888978224 )x^{44} + (-592294272056584732708908336200a^{2} + 516494872779542303459371311752a + 121878604925119032561805268560 )x^{43} + (8277792748723369929218887768a^{2} + 321543440722437635016475746240a + 133552753278316307264820214204 )x^{42} + (-510610845225685217465436824696a^{2} - 161927949029703675452553647552a - 66633037014475234154380997296 )x^{41} + (221654135168090943594615619424a^{2} - 58566247963277136131169192300a - 86784011686453834591018024288 )x^{40} + (176868555706907757104524269088a^{2} + 251435242006905971727307945824a + 144183128635318377149265901200 )x^{39} + (-474339824730100544254861214560a^{2} - 297020519090622064555530970916a + 264108207491274215133712199680 )x^{38} + (-87722960792175174356094944904a^{2} - 116518954570429702796176196272a - 520082479222868669181856320240 )x^{37} + (71371671586341363428413862064a^{2} - 125662126033964637071270770272a + 374262845459895136466239710252 )x^{36} + (-512808939954179626646149705040a^{2} + 222457344162859992585358852720a + 578968926860179963275345707664 )x^{35} + (-431783698731214141842380084396a^{2} - 328305507182900554088265451460a + 157004360541006161738435642064 )x^{34} + (264690207110515487903942325136a^{2} + 588161038203963641896975301664a + 121747671184486720718079483544 )x^{33} + (-33086076049294697900198109184a^{2} - 327519934567109393001887475590a + 570869147075134284242307400052 )x^{32} + (-461083369287730007724588662352a^{2} - 42543507135441278315908311536a - 192844776480537006122693478368 )x^{31} + (-43324173677090391669461095440a^{2} - 519834737392194081216864339048a - 212657995652817054310028897536 )x^{30} + (-280815042931266583717108087776a^{2} - 76609070813055757438974419816a + 503081661257771372842652650192 )x^{29} + (-275888478041230225344178321748a^{2} + 605032797129902292853178141372a - 417603429687945009049968811352 )x^{28} + (-565018454404816648104689606448a^{2} + 497046664239114614217839250288a - 451897801416675667934707807232 )x^{27} + (-599052544694184061657310400688a^{2} + 307366553186822995290085105488a - 619556475222739056499095797008 )x^{26} + (-282323093872420414029682300408a^{2} + 28866041562503088019920911704a - 228596274405052701223356085776 )x^{25} + (504548436731612159974397036416a^{2} - 158203689274976864960459993128a + 496588044598834530044136379756 )x^{24} + (-500541173788798203029878816768a^{2} - 470345401207438824648137059168a + 588579359011484997264589265152 )x^{23} + (115407882329777965794940733432a^{2} - 140386458503870023686654784600a + 581782049419843046979480483552 )x^{22} + (348910364102795921308680117040a^{2} - 213994592677358446624530580720a + 201760611823662388992667771168 )x^{21} + (112562716433311516610986788840a^{2} - 144128269990264320435277575696a - 91552067306008113846720010312 )x^{20} + (456874356769730887441666888656a^{2} - 197433671823190796120154424304a + 377715247153179741573605938784 )x^{19} + (557159806909487270160537152840a^{2} + 502510565709795115817793105048a + 371469625354868656815841185320 )x^{18} + (323675832581927165705978514112a^{2} - 242128829209464557439548052224a + 598399158080220869169074983280 )x^{17} + (8555167210948628078002202624a^{2} - 327805315744744948024424180856a - 109987067966251996583616350508 )x^{16} + (-380807677945811564345526443328a^{2} + 525032814843919305297015617312a + 250996716277464120799955570656 )x^{15} + (442786934897563005807254357488a^{2} + 99125182075125920044990980416a - 350989157245384174700746293808 )x^{14} + (600170000015640897924190980368a^{2} - 388163220019730410272202995552a + 623772321446310328713044908128 )x^{13} + (-208732537963084404953625201880a^{2} - 606271042087342923133330416280a - 217573499017868450886694775096 )x^{12} + (-580864310340265083033954580288a^{2} + 510068559544238373174475611264a - 71135987795607260652847130432 )x^{11} + (-325980111814319016486377983016a^{2} - 174586141490255618257555771976a + 323341016464034924154789887120 )x^{10} + (-3254184459226413108410144976a^{2} - 259665645608073409814080150736a - 484044960908917206442136255312 )x^{9} + (-622289129391247017547841246512a^{2} + 212179353944541181844394025644a - 597395145330210956022202676944 )x^{8} + (495919995484190160343922768288a^{2} - 483422925546603619769019849440a - 287482309447699717347057066816 )x^{7} + (102262995314443320014491121808a^{2} - 132410880670163944794919215232a + 38720147243827125568395922816 )x^{6} + (-7537974674370544844070974720a^{2} - 563398311197550455819940267360a - 458828519983568721049060609472 )x^{5} + (326837691419885100160742832904a^{2} - 57586381332554799818359937016a - 425879786174758201768912275056 )x^{4} + (-393875628484087025786053204544a^{2} + 320998595134645749302957266304a - 294002344565948792744182598464 )x^{3} + (-97912225528173958789784825232a^{2} + 296514453603393565388628214816a + 238844235119672352447216136944 )x^{2} + (544159204524586119864175223632a^{2} - 211589639449391244921568802928a - 523691649914140791138597191808 )x - 423229596581404053413599989184a^{2} + 152050881682446101168885528784a - 124465004296981829355061673516 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary