← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.m

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-56137711068736916197286352096a^{2} - 566988502474570150561340760840a - 243161762375920426043188125616 )x^{47} + (288435026213244189917240515996a^{2} - 553138435194782787939122729684a + 403115561926471561952320346728 )x^{46} + (236482491115500538039364420464a^{2} - 238190312131591497509798905216a + 543050768261100126062468848320 )x^{45} + (283703247458811252763443754020a^{2} - 550811690143992610427308535108a + 400899343039900084367499661976 )x^{44} + (-114265792610400487669690485912a^{2} - 616675285586709560175186691432a + 589403435455175039418409909872 )x^{43} + (-453886244626800126003422728072a^{2} + 479453517368703746386846070272a + 206955405732802925367007669548 )x^{42} + (-308914320425029118667528610216a^{2} - 629630223401958936729387602456a + 326917543123871620614223059976 )x^{41} + (-557627451469630864475042227104a^{2} - 78860684758471620970149846120a - 387345528991159935872179178488 )x^{40} + (382770068567370447668796840160a^{2} + 256845975722112600171008876224a + 32887533369510443449573555920 )x^{39} + (-625584951507574819075895013984a^{2} - 486275430543887196696851992644a + 123214160406864716236581170752 )x^{38} + (281263732326927782003836846584a^{2} + 526874851379209308554560551472a + 228868091863498380554039424288 )x^{37} + (-130803560453926429376234752096a^{2} - 380644135718331624008835028536a + 618156618323666218041270949156 )x^{36} + (332839720434323127492810238640a^{2} - 567467623382938528240867134000a + 62750020617637782452004906704 )x^{35} + (320775851038445716627842767468a^{2} - 399864047410793472086387722188a + 58249154825912633972984161528 )x^{34} + (302065657878677179996232167440a^{2} - 230149734620218116713467869152a + 268705309249625340762342007960 )x^{33} + (332896466819303570288790442852a^{2} - 242466854966288283768227964050a + 255693920176634169151815558672 )x^{32} + (157585440645105656365572759216a^{2} + 569824856057907467147605915568a - 133526644499131738394544761088 )x^{31} + (313271971796257050508992190736a^{2} - 365763904916785642786555937800a + 424687993809254916519340842048 )x^{30} + (-605952111826432786131868374848a^{2} + 171921304774198889136089701464a + 310463566737877653494844458224 )x^{29} + (454916769314601897793374023420a^{2} + 441125561244527646985773837708a + 194446096348876286459680680416 )x^{28} + (60008203743957847761226203056a^{2} - 349650785224976942204341850448a - 61658442274532477348642885376 )x^{27} + (88217741768688873204161902752a^{2} - 608852800064970735028675517104a + 507363501819906263378922224480 )x^{26} + (593964199426624457566822857608a^{2} + 128886756294383224213464631256a - 599689961698234103445197713200 )x^{25} + (-285846475240101327046117251264a^{2} + 434801604336583216356675703880a + 444678121268884663718413831324 )x^{24} + (108816040322225524957978655136a^{2} - 32341859212554173233107732096a + 67615451864858972653515724768 )x^{23} + (581119876598301500174516124632a^{2} + 229828580011860031925582626680a - 625031404838393206522893135984 )x^{22} + (-237928711069774420145984167312a^{2} - 197727662051877450623757565648a + 181600341485906447970982320512 )x^{21} + (553903381447237375839236151296a^{2} - 169320061015939442854631952872a + 612326595478516036786719921520 )x^{20} + (103188262847221652159643163504a^{2} + 273569741493516175249432023696a + 91704350420763438096562995232 )x^{19} + (-458993470021331210296086545272a^{2} - 609666566188376883043476163096a - 513493068368633747630222147880 )x^{18} + (-73246836594258964015226136192a^{2} + 172879865219217367829955657536a + 71147654911038978787996077392 )x^{17} + (-323622551229269052325967007328a^{2} + 84566987104011276033205406144a + 268695241824456473063254850804 )x^{16} + (-628437308192939383688107413760a^{2} - 605528389665451156813252626336a + 506483551512351598010678968032 )x^{15} + (-529574619042506033971654748432a^{2} - 218381035165116538864706261824a + 494116588547844420337868923056 )x^{14} + (-447044905246730943008369260272a^{2} + 591535093999901569941484215456a + 298472465663791854133651766720 )x^{13} + (-80958731923525209312138521880a^{2} + 239138231481632469692117956536a - 400948539002984116710109854248 )x^{12} + (-223193476016054928680617286368a^{2} + 364789456268008128697731119072a + 272389016252209219089375072928 )x^{11} + (-8035955673949465797555825272a^{2} + 94901126278501235486792802904a - 40309163006159045332181887616 )x^{10} + (113279580124843479317142964016a^{2} - 586297635877181506372539123824a + 617989405819806665282881570608 )x^{9} + (-274340793226288686234804459008a^{2} - 19731425591115158880660818612a + 338690434945155495598572604352 )x^{8} + (571977520139690621875614945120a^{2} - 520754839220102878212712675552a - 135625465151353995011384005760 )x^{7} + (-90270904454878914602973910800a^{2} - 192797701962737039485511167424a + 168762275844906565433179376160 )x^{6} + (-625905710870702881899969774752a^{2} - 453879971708200634943187360640a + 441581460352940447290073363808 )x^{5} + (349714366811565835492415483048a^{2} - 508947502674182728974570266600a + 347367183611128894350797893536 )x^{4} + (-233737259085815629781658628544a^{2} + 98487410291993082272976203712a - 371424884743400762747327200064 )x^{3} + (-41189539198538461062209705328a^{2} + 437662137049393659679207215088a + 140390164797950750652687472224 )x^{2} + (-35190756390490701911864592496a^{2} - 195652098067673087881187586448a + 109978742069210677475148817664 )x - 294491214608412617257612987360a^{2} + 309573590432163855159769833616a + 590044133903260132744297363252 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary