← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.l

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-490467211348579151160882217560a^{2} - 226130649730349483287370487904a + 229636776495690585105707263664 )x^{47} + (-29539142773035145908007124052a^{2} + 493670319534763435793842102408a + 568756862546596046929974288248 )x^{46} + (146905414373267332566068366336a^{2} - 633082236395356788349476959264a - 627295471181520950252746079656 )x^{45} + (264279408304187984836934357820a^{2} + 605058759497271351098842394864a - 137735473120370282094985116896 )x^{44} + (-384598577815000267553534659904a^{2} - 613059454964399909084501260528a - 38933866327155282269949274240 )x^{43} + (223558007126978746870296030568a^{2} + 386582761376321198438258121880a + 604310589952280160470638775844 )x^{42} + (-200773683993325800363213271960a^{2} + 537682196559313935857854156968a - 310814176931826183109336546752 )x^{41} + (-110319077405324217080818001716a^{2} - 376696666519218387597924562616a + 68758243209350606010706043232 )x^{40} + (332846317207822427177928736608a^{2} + 349680482105278711761075023008a - 555864721903998536951250127424 )x^{39} + (422611481925637074453618369368a^{2} - 578610313344954363395711082584a + 363226434842073394992714466584 )x^{38} + (-399282718477837925792556060232a^{2} + 13419822875841078626715506392a - 148805674391080046410456122992 )x^{37} + (-288125202039090505021149068232a^{2} - 362510093646530889164984580464a - 67668908189245089615986355988 )x^{36} + (-91546341903361448807681655888a^{2} + 479305093667083934806943542256a + 34564589656448646296472304976 )x^{35} + (-134627026891649366571372959044a^{2} + 267683896674920424024760913940a + 346214131078435411782436319184 )x^{34} + (543096946238917023811601232352a^{2} - 64839097105331407437970331152a - 385831844132654071978088980976 )x^{33} + (36998982308966549624269242812a^{2} - 606480643557979306177286490398a - 430550770165396031418696611280 )x^{32} + (189450946626966490243133210192a^{2} - 505069931159972217713427416528a - 181000728875900261481030198128 )x^{31} + (113046398128709084644555358480a^{2} + 337413465153572523310899666696a - 187809069162021726495979930400 )x^{30} + (-49861850351641900331196785064a^{2} + 213714121405416530456458110136a - 267068699430847965927888684608 )x^{29} + (-376620991707682902716651910644a^{2} + 469777457296242741006462815924a + 423063985071891750586992245200 )x^{28} + (-514019797925112557951702913472a^{2} - 428911982651270274899886662976a + 534822591295905186766616363072 )x^{27} + (-487017737929926210471347556408a^{2} + 220489418405025185803953171520a + 553092835657758220555986703288 )x^{26} + (475437232039478569997461036704a^{2} - 95262800695417628633360737712a + 609846421809479986370075889392 )x^{25} + (-152000674440639716677896118584a^{2} + 342741483283313903820124301800a - 467921235708751304170111744360 )x^{24} + (-578430466223586845634373669232a^{2} + 108448430206509756796573006416a - 145539299165392744444119432192 )x^{23} + (-477869164852817325296838791400a^{2} + 495454762367160678151540992032a + 371828130354520058832653264736 )x^{22} + (-328156230310287973494219366496a^{2} + 479958110753799546903486935648a - 315651989294302991475548635952 )x^{21} + (-259866237337161804042387491568a^{2} - 175378464691361247397856639320a + 445646677588823649080720930144 )x^{20} + (430708237141682392745330980512a^{2} + 563693080842904646800308267360a - 216400003771636928308346771808 )x^{19} + (-571301608978757019324320691720a^{2} + 160307393330465279410132111064a + 503598533411676340873783004968 )x^{18} + (-311476973083851050045591243440a^{2} + 457569964550636717614221942896a + 286108056276009098428884150272 )x^{17} + (474537498608869995077667181448a^{2} - 496392387271211709830709110272a - 551943494751390803464162318524 )x^{16} + (572900347894166883424144146048a^{2} - 420244548431056243327304113056a - 316344035299822079235778495392 )x^{15} + (302407337035029383143297938352a^{2} - 510965943232908367661172201448a + 428904776912305135992362798208 )x^{14} + (509874693954800912681875279200a^{2} + 307353203145459490294735137088a + 541083489259984668823981567872 )x^{13} + (-141166117458488611199847839272a^{2} - 619079489701981338237686688552a - 630098689146531822147906605624 )x^{12} + (-628761754426480535127563752576a^{2} - 424324606637574329866080620576a - 240431158634856546983544043552 )x^{11} + (-78469545543354929147322409608a^{2} + 575836109262643547868394114392a - 373944349155851826998637775904 )x^{10} + (-265382272325591863315399012672a^{2} - 294806222234203193357014217216a - 405975334399729455290977640640 )x^{9} + (47399763261462218828992534760a^{2} + 478452840008327140502907449260a - 485846440592215897437443080128 )x^{8} + (326233194838122540831524631776a^{2} - 155781672705631131150045113760a - 13395471966795992388400395616 )x^{7} + (-190100549923028673401397600880a^{2} + 310540177757927246695156241792a - 344718823313006922045266065168 )x^{6} + (425895941306857708248637508176a^{2} - 559950683158943806625957857152a - 595062646608983782347934727040 )x^{5} + (258018681335451373294358345384a^{2} + 46087598559221385182153199560a - 427511271873891898836058607264 )x^{4} + (-116541140188765549809944260288a^{2} - 69162012454649500754505596736a - 282421442272117150732157061568 )x^{3} + (-384904187286243637812041114912a^{2} + 54639743630986332109722135728a + 181886313341940658579317454064 )x^{2} + (219126178327219584115446312288a^{2} + 327686532384921412235707996608a + 209627894085838717318323406816 )x + 136136249905527742337642909008a^{2} - 173507431599364675955026169008a - 460574838381698149837781845252 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary