← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.k

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-490467211348579151160882217560a^{2} - 226130649730349483287370487904a + 229636776495690585105707263664 )x^{47} + (-354528950054772851469330482012a^{2} + 501999782408273859622851653304a + 329100334847186199722168245688 )x^{46} + (-325776172030091032105422859440a^{2} + 576798749309717125338784462320a - 112792508105724289718349802680 )x^{45} + (378784445605329764261731289516a^{2} + 170194677804086450371168171336a + 378132253827749120492711682664 )x^{44} + (361865928496429794050441480944a^{2} - 546855153426449108594412350784a + 115280191687824193153946879776 )x^{43} + (552118432725778329021393062048a^{2} - 435637149982428067600921100792a + 122278767130316911826554192372 )x^{42} + (555173235213674774412867341488a^{2} - 86225010986549684266348261816a - 307191046758637255460663391016 )x^{41} + (-195368034611610313122113048348a^{2} + 292864975070665965871789566668a - 606997282915301977806177078728 )x^{40} + (-301599993257368118899152190560a^{2} - 256000766600456333824091661440a + 30534187421042786508725834784 )x^{39} + (-580708788732578767179955229584a^{2} + 507949633985404127745603703040a - 66941261646936409160852503200 )x^{38} + (459120987975687583263880815576a^{2} + 320584084434282777437590075832a + 358719983829539278263697843472 )x^{37} + (-560618729377518523878261375288a^{2} + 133496034700542126289791638344a - 599298458507098496715104909436 )x^{36} + (123782578616037494708695172304a^{2} + 114950728794911448097453354080a + 42412696188898797415677082128 )x^{35} + (347346141382966617578681178788a^{2} - 451769271743788233926549517180a + 24221443486183788941748169056 )x^{34} + (374573687480055188411394188208a^{2} + 500273105495046942699621326544a + 452502990996840371548905644736 )x^{33} + (-77905891422201456610326822816a^{2} + 625693821637002473028469823966a - 10755863652823773160734044852 )x^{32} + (-397527585969519454307631961712a^{2} - 367751822007231784628071027024a - 620431390769102232827084621520 )x^{31} + (-483423497362333004830192859504a^{2} + 401047862548356731916493327368a + 423626024046604008671693389520 )x^{30} + (250653802550510043762122800760a^{2} + 228867322607573616782351655096a - 218019913743868831380193655136 )x^{29} + (187036841980855495711776644628a^{2} - 97286648130119468795190137772a + 473409698249310997399629763808 )x^{28} + (-470804225379300092575612209760a^{2} + 185296444364416584432178968160a - 307906625762707796882580466432 )x^{27} + (-255986956543575468612786048824a^{2} + 70841300609525647610899014056a - 631878630778480061294875398176 )x^{26} + (-174217632307878526433828904064a^{2} + 509629505722200650406081980752a + 482381055618376547418671591088 )x^{25} + (-599871344959195843953537770616a^{2} - 395153996753103592567786465264a + 213174538304738907294197903512 )x^{24} + (290016083819590779574409102640a^{2} + 53686815737303766844904797904a - 287299299809279312826525324512 )x^{23} + (510211142518219077359815316360a^{2} - 453722234598731021447539573440a + 623632133890023819333007215680 )x^{22} + (-558387301043265303176880728832a^{2} - 559860064649056863814373334624a - 182140855078853474139269251536 )x^{21} + (171518070388201548804172612152a^{2} - 154635128089770995777584210656a + 446934152003456388853407538872 )x^{20} + (-471898273927202439238093776416a^{2} - 470713223614370339886697853344a + 148361830285494457280808143104 )x^{19} + (175627337311498307084561695768a^{2} + 270367488111994600918243988872a + 408461842211623317563158765144 )x^{18} + (-250559384586137446049178963392a^{2} + 109844906667660371435181812000a - 228240403759391546087515515296 )x^{17} + (317963164988880470590272196616a^{2} - 342895068705278295786929530840a + 589318487690601674398186476948 )x^{16} + (-187899877996499366312084273792a^{2} + 56695328516449142270530305632a - 550715543431572900733707436640 )x^{15} + (-405062130356170295533404652848a^{2} - 147264678313088768421476812360a + 480260641560339729660261992576 )x^{14} + (625067007714636097319376304320a^{2} + 503546828108988581514503244512a + 554394039513960367134914261856 )x^{13} + (-492612054606030740662910714312a^{2} + 215455327486996398792102951112a - 371381786163396151459632082328 )x^{12} + (60310125908415895966028255328a^{2} + 572314619509381179751251655968a + 592489961165569915558491089408 )x^{11} + (513756030622940989333010008456a^{2} - 305767117364240683456309034712a - 293443025034985740858633198624 )x^{10} + (311998872951534446447407294304a^{2} + 72414200569107927904739465920a + 64908782302039948341388165344 )x^{9} + (474697836934942209620831152200a^{2} + 15154457654630299781820568716a + 164557306863353627575485412720 )x^{8} + (-272048256269505350384765743456a^{2} - 592649982378946441825795575840a - 351752111809120044595633739296 )x^{7} + (40326936621047610570896361360a^{2} - 439884102111464456019499591808a - 10995786725230915387291566960 )x^{6} + (-471250950013597971727161246000a^{2} - 316928694877436734022354589408a + 384388454176727549428352307328 )x^{5} + (387013894005671622662562585304a^{2} - 620655139628969731976155817672a + 178062717467997137651520593792 )x^{4} + (256501057698505105421232556480a^{2} + 244616324527458060226782129920a + 611566821373245922793055310976 )x^{3} + (136548162609156811005931646944a^{2} + 294017204395894351186345773648a - 326210072336827202777689725808 )x^{2} + (-308707118492398754665788327232a^{2} + 56943484514276824699773665152a + 340496595275253798266063947136 )x - 159148861323093660971095095776a^{2} - 41344728665541865202689878480a + 242832250688509893198283984636 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary