← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.j

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-490467211348579151160882217560a^{2} - 226130649730349483287370487904a + 229636776495690585105707263664 )x^{47} + (-27588745959446530996926115756a^{2} - 150271322904929926483303528304a + 462345494856130902831343630376 )x^{46} + (452304298926747506251254334976a^{2} + 559924833537153763706438910304a + 502280617686393850881197090888 )x^{45} + (-456079234970151137883468925948a^{2} - 448656355902438251109926708664a - 125073584793362166489485452616 )x^{44} + (-333344071008925678081084072160a^{2} - 388131910131611560639643562080a + 385921086774244232653145066432 )x^{43} + (67503150148628423825894789216a^{2} - 425111641945358124671550553656a - 106948720037124351133928913604 )x^{42} + (-283165871766999671393926614264a^{2} + 411870765022406803392917921360a - 7259046682705142413370549192 )x^{41} + (505636915522658265068089134436a^{2} - 191353781424858569967889003660a + 535009698385086379881024413456 )x^{40} + (399961455016990990805489746272a^{2} - 278467472103825507288232454048a - 116742438558627385483754532480 )x^{39} + (8837061282216137218776027728a^{2} - 459484421083316697287249587384a + 122235393719240767493533878112 )x^{38} + (467068787161111422756704211880a^{2} + 253414666455800011559564198904a + 631568094627808015148817658464 )x^{37} + (-129724253116187922977384042928a^{2} + 371771537818355236686128239240a - 590007135422755695844063188428 )x^{36} + (562782391991486836215791880816a^{2} + 322720422758137660286601877120a + 270841589206697265348387201840 )x^{35} + (-175687003745809919511417785500a^{2} - 485383251886706861765297387668a + 303122167476682430753593157920 )x^{34} + (36623841988985239488829710432a^{2} - 260838577581458829390634103360a - 544255262009403519327607052896 )x^{33} + (-264049186898296819584963707056a^{2} + 427290928127790306654658778770a + 395064660091582472511003010284 )x^{32} + (-14874608018779317654588860400a^{2} - 332266915071745449612015771312a + 550885911764348085468363874448 )x^{31} + (-406948474062479966942137702640a^{2} + 610654887367675763781134630840a - 379265610197101460099655858400 )x^{30} + (616755821388249986875681743512a^{2} + 88651020228763425780173497816a - 382887412281859410582565733248 )x^{29} + (10416758706125120781345971956a^{2} + 459323541403467887954618934396a + 256337980335045214043650100480 )x^{28} + (283662314415734220998533526752a^{2} + 395990980019644864801803007840a - 334181468868565674030022402848 )x^{27} + (263068258045223114102609962360a^{2} + 575776102818009480883484906672a + 571007636505265517197040238400 )x^{26} + (76232588111298770355090036768a^{2} + 89036604424882384386417652496a + 477097228361587153851767627056 )x^{25} + (-610705238422582668863914253608a^{2} - 628455941835312716678703434288a - 245845811764792133460684684624 )x^{24} + (93880790479945727361122639888a^{2} + 503275361781331736514693178320a + 599716000779087540668456205216 )x^{23} + (-285144654839738799667481132920a^{2} + 297391923559544183866993170112a - 299894053168014827582226729792 )x^{22} + (310231377478470475543158821568a^{2} + 281771335673688565539800631552a + 127823714709828959761156184368 )x^{21} + (167263875990275942248361516776a^{2} + 591285280744959073746339524272a + 609546569152326132029678347944 )x^{20} + (-629914994276807192449485346528a^{2} - 277969130124801093123820623680a - 132177924689981123007215812416 )x^{19} + (-109448772778128786505628234744a^{2} + 434946136847135906804466559480a + 488216860010686914170787094024 )x^{18} + (-42741736579822255243682791888a^{2} + 379006423574749412049908585312a - 65715730646312536097661411264 )x^{17} + (365711322111111159644781137768a^{2} + 176066439217177166555589950232a + 577603768646019172188598635652 )x^{16} + (-628249155758868862648428891904a^{2} - 548639983496137684194605675168a + 160331818065971722756980502048 )x^{15} + (-88161972455221026431614142544a^{2} + 98292825372711575973304828824a + 307522598562608062132965524320 )x^{14} + (-190614387072468435409018232000a^{2} + 107665640481345086160047362624a - 597475260983197840345352092352 )x^{13} + (-554799657546291556130818223320a^{2} + 67043886759161431989296534520a - 31888211718768165826709949160 )x^{12} + (-611975220943264431157833030880a^{2} + 295074781933492230612639439136a + 266708683371717787126528405568 )x^{11} + (98676798310400302216408391864a^{2} - 377936091466146016516458255704a - 629072547988716023241727029472 )x^{10} + (-363783217016762555761489693568a^{2} - 22604162891205973926246304224a - 59063740016371530645405566432 )x^{9} + (-566907525290702412717459146520a^{2} + 71450639878820607903957503628a + 515885106771255219746509168496 )x^{8} + (610553045384564620005647265632a^{2} + 305636608810647206655692924000a - 135933113812630370440228535072 )x^{7} + (584504680086793482417036834480a^{2} + 210327344405938365481906584320a - 66972956536895302887855790704 )x^{6} + (92318727169573792414061615792a^{2} + 485704732531625194188584687808a - 544675837350815698569920776768 )x^{5} + (-292731453408413586064669072888a^{2} - 182719402848939686066016116520a - 230603870926389390482886547456 )x^{4} + (-66827187417562646379837143936a^{2} + 2403482467294490794534005376a - 513242120563736889562576667008 )x^{3} + (-301426297793420975815465355520a^{2} - 448075019451955947059596964560a + 317916297395586869480565620368 )x^{2} + (-220076741568947062860342249248a^{2} + 583960000708517698776567763360a - 288791368023909038067182845824 )x + 192106305931033877926369439424a^{2} + 50719471002078949287205377680a - 88188004994167562107605616436 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary