← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.i

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-490467211348579151160882217560a^{2} - 226130649730349483287370487904a + 229636776495690585105707263664 )x^{47} + (544528242784532706981139369836a^{2} - 108653848096489963031668462720a - 357904614910790547602172960024 )x^{46} + (-298538561192273679348063448560a^{2} - 109532825945331656354433699280a - 550549493921521525647500283272 )x^{45} + (430778799486788095364942204404a^{2} - 285212695296952113475034915296a + 296706418187690733748254115232 )x^{44} + (-347619601095484806781457115664a^{2} - 82808738743576756342097718768a - 543264405427659324546760078016 )x^{43} + (524403795317410966175238341784a^{2} - 306964418344508401507674633432a + 42191156530384267701232521052 )x^{42} + (602556396992517782608035711664a^{2} + 595319205491744825243547076224a - 159863795559452444739538729264 )x^{41} + (-314806062051943206325978943308a^{2} + 465173722177447276326126450312a + 565707174940100328350009469776 )x^{40} + (-608384109821209008789347057504a^{2} + 334752849666644646701728045120a + 22625450984144263328347043296 )x^{39} + (-357590883823178063812022751432a^{2} + 541887156555851971070904728128a + 205336872883743290259120249576 )x^{38} + (-32632807093018344028204276536a^{2} + 204171385654496834507690035384a - 420400896112813891505211591232 )x^{37} + (-74744546073413260046310130656a^{2} - 385461390313938103514727934560a - 313478054301524360342260884884 )x^{36} + (-400093882677117211955873603728a^{2} + 291062211319551234702729686096a - 84649195528058632376287466544 )x^{35} + (-286091821111585401516415406436a^{2} + 53843315467638166197049479164a + 16147724130600410080793442400 )x^{34} + (-475513515285886162909596894576a^{2} + 293841051558458730795346845024a - 177361028571696253633738855760 )x^{33} + (-492213139535127071012139504444a^{2} + 225616769542493385138268513718a + 285169015284921244382950673440 )x^{32} + (343903036512388386289524799824a^{2} - 41157519647574897699677604464a + 260117524959230082280203562928 )x^{31} + (108039007934597889451832024048a^{2} + 148779000116591724440392094264a + 516661329724361757618660313200 )x^{30} + (155511190935961485174960919800a^{2} + 620275285027660422598782993048a + 402640363490724781859473958176 )x^{29} + (17685998313906765586228227900a^{2} + 539777130393546400245082521980a + 565810983911365867459628248816 )x^{28} + (111833925535492503128469248000a^{2} - 465215396398608415842423887040a - 103027710393245378824968549344 )x^{27} + (28738865629935088303913837864a^{2} - 340572136088575365459708097304a - 49840168721215988634924265416 )x^{26} + (445506993133485274657477164288a^{2} - 146377675501313198030951518000a + 556759943420155115156250883952 )x^{25} + (-536686675397080310048375464504a^{2} + 23321485484192485158422997016a + 600494115394198901884243804336 )x^{24} + (409618561851326025384647454704a^{2} - 125950327888206612261214324080a + 145034933190154136169392895424 )x^{23} + (443074231366960667681220891320a^{2} + 218705074789370236554261044800a + 606246272785697704223108941280 )x^{22} + (300329700089946101089649596896a^{2} - 478754809550698350734501280960a - 426091086901758860372502390448 )x^{21} + (47313609417684615372730060832a^{2} + 334032775119187097829579317880a - 632778355763451569318657146928 )x^{20} + (-603319165026954570191386256992a^{2} - 80485892072495601276372660224a - 186430176467655657985352564832 )x^{19} + (13442084283140852096035738824a^{2} + 79299826598210918413065723144a - 474310832216852032234851182344 )x^{18} + (193714428668829022068473720800a^{2} + 9138486631016048282615370160a - 178176921575605506185872808032 )x^{17} + (5641484655390007778529823512a^{2} + 120166774814234002890373873008a - 544187265813159946562164121980 )x^{16} + (-451332841683590269042912986624a^{2} - 195123086876930751308666723488a - 501537828259739829738151170848 )x^{15} + (49281447379636918604229107344a^{2} + 263860198953839408898054688120a - 17613712225433192873777355040 )x^{14} + (73201968140246698429599861728a^{2} + 303841823034184315698010266720a + 323527145584533536035668877536 )x^{13} + (-273127147352724459473084696440a^{2} + 132198278286103360180303590248a - 365113929552359981118838829096 )x^{12} + (25421296350894537490852656704a^{2} - 40691294229031259174936332448a - 172987098583732353324764930144 )x^{11} + (-415071448636615231600278207032a^{2} + 203291017095726542425567390968a - 342848095184551137232427191040 )x^{10} + (-398659050999687009572296098080a^{2} - 392142307218122977236180322592a - 202617028003846454414731941568 )x^{9} + (-150397442941674952511047119960a^{2} - 357584844992836418298697209428a - 521719462342424945412512111424 )x^{8} + (-309761032431761154976813118560a^{2} + 248949536391034868405577446624a - 274027857450778462294047123040 )x^{7} + (396790621325308544290015319664a^{2} + 347256830465248764431298000192a - 229116156228532521363231568656 )x^{6} + (360164264245027129347937763056a^{2} - 129817368137123195127223609056a - 232883660163036723673142968704 )x^{5} + (-258800070279985306776228944168a^{2} - 104407315425175228015200588056a - 332200350028892456757973356768 )x^{4} + (-135122492015589829007109797888a^{2} + 77801856444937894235384633664a + 178583095218675403472294045376 )x^{3} + (-478564032942766691023489673248a^{2} - 102965136764026711900873643184a + 119703955037394126662826450352 )x^{2} + (229185534264104318541099851584a^{2} + 211674104140178330449877990368a + 269498927114158630385034336288 )x - 41983966064501990513312562960a^{2} + 237439884138517091666496560400a + 120646834997343393137998186988 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary