← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.h

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-56137711068736916197286352096a^{2} - 566988502474570150561340760840a - 243161762375920426043188125616 )x^{47} + (297672803294200609935957713716a^{2} + 461599865257252755240523548812a - 615378103824500310149778228048 )x^{46} + (474939518406122907679456940688a^{2} - 514990112184414360330556624384a + 417752961980618221619490178000 )x^{45} + (-154722584823587617407354819276a^{2} - 528133794023915413501852683396a - 239666439887841909550196791280 )x^{44} + (-274975474100629076756604437176a^{2} + 592006817658186559474061230424a - 188801067735802202664001760752 )x^{43} + (-387197932828003640830941629800a^{2} - 295791831341447140605125206104a - 61827709097134811974059369772 )x^{42} + (-551607229479207833928984485616a^{2} - 194753230607476946108982273232a + 539720060578454563023820716904 )x^{41} + (-254460751459836312772714323396a^{2} - 294928773085856858940802133320a + 158614451546546566119265781420 )x^{40} + (-374849383559076513545410044288a^{2} + 171444504070250640110924033568a - 445519662117972974866237907600 )x^{39} + (95197434988256504993228826032a^{2} + 323524075576633296090473103516a + 590109025549560668671510294016 )x^{38} + (-331850792417765052759521824248a^{2} + 29189149953091669235083204272a - 506363574119423035682042242080 )x^{37} + (552059721821827726889971315104a^{2} - 3513347409676366473554561576a - 486330649281147702462864594324 )x^{36} + (573162811395475815239200761136a^{2} + 623670764085304699348318708208a + 547539886010986126566707412112 )x^{35} + (-408359792473292809066293374004a^{2} - 280896706780568602995507944340a - 403844846838501566743303655032 )x^{34} + (-628701852925609087227997833552a^{2} - 283816468599968888753896619760a + 129166812811619237064558124936 )x^{33} + (211716786509325538951190880004a^{2} + 511684481837077758515668423406a + 244658164614275554908213344132 )x^{32} + (465115244720434817542633981200a^{2} + 389653219518532918302039919536a + 107970937310011113775148481952 )x^{31} + (-150731552053092180876565053920a^{2} + 516643465108918651587171104776a - 256593654323529156082261371376 )x^{30} + (-17753826053852077427977851616a^{2} - 443905646420560910922036017544a + 450044595613204060088895340048 )x^{29} + (406849365506020282546825830780a^{2} - 422769467658658530969234919372a - 228489417451229319640404086552 )x^{28} + (406890132209790669736425669360a^{2} + 82476700320158381311961407248a - 440931730971682778268989264352 )x^{27} + (310244308470665831014202383168a^{2} - 549386823311069982162444943328a + 341067417781201939303268828608 )x^{26} + (-497052702847297623918917970264a^{2} - 143934307489948640705039642376a + 447142857855444775048607318384 )x^{25} + (516964868445189725606882719552a^{2} + 145471724674591670595803029312a + 404256488075554159718195002708 )x^{24} + (-399374229282251038039733572000a^{2} - 596666792284407412071346178240a - 149775883546970547072271887104 )x^{23} + (-591982202895663674685189441208a^{2} - 273238454624080950245590858456a - 184260102460864677102474341216 )x^{22} + (235950797285590378076922595184a^{2} + 549748464270043879797739297648a - 19491799709700368729985646848 )x^{21} + (-546589002162892178848728041792a^{2} + 265593702459033279613685681040a - 563675251475246341895566233368 )x^{20} + (-204614577605765921556984686224a^{2} - 8417194604845724074130924688a + 339428324198083273104149990336 )x^{19} + (630488263687164341732678960856a^{2} + 21732259740078361495407639928a - 235849606809937264148148771768 )x^{18} + (592992509402085537571799331616a^{2} - 600612151255627345718139128928a + 20587000241191722336677269584 )x^{17} + (150207711587016701236973424392a^{2} - 570660389858119844103430679552a - 608402163981031675149464110132 )x^{16} + (-503442120205012836901076249088a^{2} - 344535879286219981332019826336a - 545770003491899538820511757664 )x^{15} + (-405612432871322602605526690576a^{2} + 149092773800679124838860417120a + 485199237108390197114773636336 )x^{14} + (-460770295688366446011731058512a^{2} + 283719888343030776463193632896a + 245849416812620872437799658720 )x^{13} + (-601962725665416496234709043176a^{2} + 383853554256278226265848579704a + 120494117352044510311833523464 )x^{12} + (532684642118477421032892346464a^{2} - 572890237675875816097276678208a + 182340492611190900947635272128 )x^{11} + (-609621128305678775142247128184a^{2} - 222008284033885253171808454248a + 190294789579323757053664900656 )x^{10} + (-38742958007529853304253985104a^{2} + 627696095189063821049164638384a - 47478865272086782405884511056 )x^{9} + (-204537571299398928484986537360a^{2} - 526512008323240259420406531812a + 357823794519824129454900781008 )x^{8} + (-532274103092646456671091579232a^{2} - 532647644335675961060824530528a - 420102610729115705755110572800 )x^{7} + (-469849886189807332414867912624a^{2} + 221926853788605874540849419296a + 83530165111854724932137497344 )x^{6} + (-605027593425746865102268285472a^{2} + 231669109376048287125328174912a - 176826409213633040687026605312 )x^{5} + (-537321227462069542392562549880a^{2} - 506649822310232449051631261224a + 247308982291817076211058299104 )x^{4} + (-516513797993973051488367116352a^{2} + 83818793291241435157925409280a - 370105710356824630409026719680 )x^{3} + (98293498843466317795676520896a^{2} + 165540862355691020399028957792a + 18254354577391524037222002912 )x^{2} + (99614097428631901341280615952a^{2} - 299196932025772478104227169648a + 175023426533086045189351493152 )x + 544423903331613202724941525568a^{2} + 343354119191073509128045159696a - 212912251215624936009449953916 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary