← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-56137711068736916197286352096a^{2} - 566988502474570150561340760840a - 243161762375920426043188125616 )x^{47} + (247110710937978397068595772348a^{2} + 464527504133985482325097717196a - 97047956600510153083123039424 )x^{46} + (-167795490317668441089816508848a^{2} + 301132205275767961220926451728a - 612138562620020084430181974240 )x^{45} + (315454195022469012339651097788a^{2} + 183540077300485300757453820300a + 590857678488156733585791103992 )x^{44} + (240165777819278277552865179672a^{2} - 291716349727239699137053566776a + 577746834917994798788803324816 )x^{43} + (613500528196893507401473588440a^{2} + 507422855727907510250194504664a - 246710065521933573703899207660 )x^{42} + (135136015039127476227819974880a^{2} - 147886588458764281212766200568a - 19887513102752435080431509600 )x^{41} + (148028038285997007846466209748a^{2} + 160729388714089071167904494932a - 506075178773984681241720039556 )x^{40} + (-379291110993937446535270889920a^{2} + 117794264639387184730579845888a + 152710938008444628389646430128 )x^{39} + (-9452450600558711641399565904a^{2} + 326966280831202744374871737244a + 47971187712144967428239590592 )x^{38} + (74781169371730762966249806024a^{2} + 129674145443972346905795871728a + 480142428467272618045638486896 )x^{37} + (-23673879769237110186731445840a^{2} - 127582860427749348960153895792a - 617310475156013092265742725564 )x^{36} + (248502083566632373535906856016a^{2} - 188037588021621926240033496912a - 425151860326885777654414219088 )x^{35} + (-123778261721381374327637535788a^{2} + 240368507858675172731418208836a - 265233194429695195330062952304 )x^{34} + (-207476238108487562133984688944a^{2} + 458632210878059781265459741904a + 620890668739467936672785098792 )x^{33} + (318772769476561490027343827456a^{2} - 38425569521953836878844367430a + 388647274369203863442653197752 )x^{32} + (-578440392739708557971856361200a^{2} + 563437413551501898924226209616a - 152441651998177228175373928768 )x^{31} + (-92859126336958187158406246080a^{2} + 125080297929208255489679992264a - 495462760539326603360213584976 )x^{30} + (526207218505029085199867866624a^{2} - 290408799738304907172786473608a + 57748620987518608976386178928 )x^{29} + (-295781073601648017602407578036a^{2} - 365121940220070288455377003420a - 201449478586277839049294235296 )x^{28} + (-316305679678264375088389395056a^{2} - 323511935023819227213433073776a + 56148071829610369638421287968 )x^{27} + (203127696258044249624600700688a^{2} + 41308378797525297465525553280a - 190643694744564117510261936208 )x^{26} + (-338212228019758390257395591960a^{2} - 557792851226984706303869733416a + 185033337494566916443347904464 )x^{25} + (462230239690340254695716615296a^{2} + 129123328550082342681277978992a - 304478295543306870821506107372 )x^{24} + (-74829909373903337972456198336a^{2} - 266026354712969848534080473248a + 258786210994147718129995222816 )x^{23} + (322563113255502633341824111624a^{2} + 332524346962420735272187818744a + 205359913804470864195404470192 )x^{22} + (526401993133012365808119677616a^{2} - 227869980361075414293066099568a - 227422670600444490183725211616 )x^{21} + (-197858502658001997231431666808a^{2} - 184240797296500014492911100088a + 498931253712423116855430013104 )x^{20} + (612751061373022240994457837264a^{2} - 70986343577702930467562451920a + 159221761506607863483537665408 )x^{19} + (-613414208111968763515463158024a^{2} - 411487283478462443986903862744a + 259775413199570550223447026584 )x^{18} + (577410297476522361698621091648a^{2} + 532587883096867672543294667904a + 598805427272555676539635477808 )x^{17} + (511150984150716620357292119416a^{2} + 615977949094973127654701468376a + 536697351924983150645607019292 )x^{16} + (-491577800865374449846688995904a^{2} - 584236906475673036277925908192a + 300417500871402697784068453536 )x^{15} + (-580612107590969603305216066960a^{2} + 134660074675883596540191254496a + 475393726640075430584843790480 )x^{14} + (517629482283687659039883465904a^{2} + 628436913565938189106505629568a - 382355872242637072994567744000 )x^{13} + (113903654490472542179259242776a^{2} + 277718673135890683634443448648a - 283670367731130304833971781800 )x^{12} + (-591886305133047775118745002880a^{2} + 573252526056421929840695377376a - 625879263998729894668738890144 )x^{11} + (88016911948790561912885634360a^{2} - 200262872780867623786876487464a - 332206215403513049025546987904 )x^{10} + (379778636316702071903585048816a^{2} - 548786651295796146376107602800a - 577428410081780824709789394000 )x^{9} + (-405927632109725084360749207296a^{2} - 567616370805824944979373743876a - 333274934331678607015778940640 )x^{8} + (-630417464122457400483601772832a^{2} - 474442484410293386095580670176a - 60801211799891200172125193664 )x^{7} + (102636910944108691489973063536a^{2} + 59068902675461249562443596960a - 457527373916186499967364386784 )x^{6} + (-248340374235309331745159324864a^{2} + 245594638594747776114343549920a + 1462607273805227537342749344 )x^{5} + (545453432908513034393645232136a^{2} - 357344489565388223915523018744a + 195975386912809336661961978992 )x^{4} + (-147991608174013403659689641792a^{2} - 289678531632539637215010823360a + 356596290498589249800075882816 )x^{3} + (454530057698124826158766127264a^{2} + 134268934795424500338417617360a + 570162329164792888174329057296 )x^{2} + (-266001775549891583300385183088a^{2} - 183993372910761563474667745424a + 232115394652373877536560414112 )x + 309590166022906792470835772960a^{2} - 26053668816067395487565619344a - 189066203251547504508918734812 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary