← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-56137711068736916197286352096a^{2} - 566988502474570150561340760840a - 243161762375920426043188125616 )x^{47} + (-545453647518870380184540034500a^{2} - 115834165113630928037523030156a + 171880155636129735098228744784 )x^{46} + (374717466285658397608971742528a^{2} - 554701966910907264652219456144a - 86902486019102896278640036864 )x^{45} + (103603202768579442840248860484a^{2} - 1452293351561713324602104700a - 538151939495007638058347108536 )x^{44} + (-481864490626335678219397918824a^{2} - 323770326744191771177527343464a + 610871625974184062890505854448 )x^{43} + (379649128090419274542516086672a^{2} - 449266820425980726853790338024a + 20713698083583451896492839076 )x^{42} + (-316567547845318461516202646896a^{2} - 423707899454151868235929490272a - 411601065804648867217541088688 )x^{41} + (538606942751867969500055575228a^{2} - 114952397336448786311736655140a - 450313312957843801842473748308 )x^{40} + (359799154292497165196174347904a^{2} + 14155394857136235168371198624a + 241729892390860535329003303952 )x^{39} + (425699275365018127269561471904a^{2} + 140748733666630594447741843420a - 184454945319519700338529874464 )x^{38} + (-178247780611842350064167863656a^{2} + 633138346207626297901622920176a - 471670193201639567080445083856 )x^{37} + (-222877176183923298025933482296a^{2} + 453563680409702840065845711904a - 492058209249457759155922076204 )x^{36} + (-11494132368463933374181164144a^{2} - 358826156473385883655342317840a + 487204124665655242774757722128 )x^{35} + (309500476756398025635210907332a^{2} - 149424474797316138200710652076a + 420588411188039974225249760016 )x^{34} + (526284531175511352235634786816a^{2} - 511720504121844270773971092080a + 172122725611895707819545844296 )x^{33} + (-108181528945088076957697009304a^{2} + 534549488046777119072448451774a - 510243641698158209027437633120 )x^{32} + (211979862780395600412710675088a^{2} + 65892711678391515002703943504a + 553364624666732549863473273472 )x^{31} + (-1842034532518662740523678352a^{2} - 573698499582811232368254439176a - 35734597141511383704234810816 )x^{30} + (-438622367714869819597848930080a^{2} + 152612567504675042647416562552a - 533059652572429825555062283696 )x^{29} + (-191509963337528239581598237380a^{2} - 461732243149611012268470878340a + 435479597147212270224319295888 )x^{28} + (-510423952914406339862833604336a^{2} + 457804195429866740500403831696a - 56246101387358713492673720672 )x^{27} + (-274274632475072722743122075408a^{2} + 571816384376383924971891874944a - 115185795583117979445902784256 )x^{26} + (-416126405727082943503365957304a^{2} - 598791104129129452759224188168a + 354647207186509946155851754672 )x^{25} + (479383088664471694646716128944a^{2} + 32991595843117858140778724032a + 480418186513595083398170954948 )x^{24} + (577944091143304988913246927744a^{2} + 295247376619930311024938374976a - 56950653863532877219158344480 )x^{23} + (141893409836092346260531250888a^{2} - 171797236380815933731811199096a - 29400499175813958197725424976 )x^{22} + (64846284015145502383743824560a^{2} + 289409082006676627095623647472a + 543033549628525118893484054304 )x^{21} + (-546557073631249546721178377224a^{2} + 89081241884420852045186428920a - 417585129244303397989838350592 )x^{20} + (-187665063475954437771151728464a^{2} - 277809872214371220846375400080a - 438485320002638070679985333248 )x^{19} + (9367591519574511723995433624a^{2} - 215259659601379686472359870696a - 140996030790046117338564404888 )x^{18} + (475316072967766428245338168768a^{2} - 500098018390655484406073234464a - 214249124870030768780346044368 )x^{17} + (-299329271105322084439234682168a^{2} + 323089931274946703107160124664a - 12437108547782910732766549300 )x^{16} + (-41639645721576015418095322816a^{2} + 581651399561608747475839281184a + 371770982932290922619499400736 )x^{15} + (495746571010877607220367009648a^{2} + 210759674606284666423753263808a + 381036858310917921223951048944 )x^{14} + (55393906712188941280584938128a^{2} - 259746648521556504945988875808a + 434114563778768318763227138816 )x^{13} + (-356550619136805411480425440344a^{2} - 484015261656461743485456148904a + 477792041923259874053353860328 )x^{12} + (-168029283516376768043300274112a^{2} - 278720516147325527787488558304a - 156942248139863954380559542752 )x^{11} + (-193498581289943022335254590008a^{2} - 399813572320196508139675574104a + 1482414146040783238651486080 )x^{10} + (-63664127910907106963883613744a^{2} + 186121139284922684843055691312a + 147913469364977999584416231760 )x^{9} + (-295569650713000961892404581856a^{2} + 100861934138783682283795863324a + 263279832354076933482573818272 )x^{8} + (-146777378415870029482686516640a^{2} - 408570903774293980673345499936a + 128438310202274123065609397056 )x^{7} + (106194108275960034741176854864a^{2} + 408725723469597572583343987648a + 129211468019322977540206216768 )x^{6} + (-549334360976147647249557046336a^{2} - 256494975262267219196176285888a + 383349367968764426577644837920 )x^{5} + (517954640527380576145215692504a^{2} - 434189338847031270291093542840a - 551235903143139598997014737296 )x^{4} + (560074061046947938855121054528a^{2} + 290897062725313935128873786240a - 309293254487209578196998986048 )x^{3} + (540433873401288774834917139264a^{2} - 78028167211157253383909300960a + 328954601730335410640449974960 )x^{2} + (-112423913132977043804165601936a^{2} + 212751031632066428143815234640a - 559250980213021596546406531488 )x + 385446873244940259207613680800a^{2} - 538493896220719874670637180176a + 170873265519033797355038589172 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary