← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-56137711068736916197286352096a^{2} - 566988502474570150561340760840a - 243161762375920426043188125616 )x^{47} + (-394685173909953987851558523676a^{2} + 586111176981686573477172186292a + 90561687487355512503868913184 )x^{46} + (-298565854196413776085195958528a^{2} - 556563505449596811899894682432a - 416125565228237471088544787568 )x^{45} + (-436404247271206745220512103924a^{2} - 363823391742884906899201773436a - 337285679582559593753782437840 )x^{44} + (-417427009820334325835890051736a^{2} - 180928894989829910494078261528a + 275892350978092057897308839792 )x^{43} + (-522233432289867919815967353120a^{2} - 479361396733311696033660407880a - 332195480758506340838757539676 )x^{42} + (-73793921791536101095765521360a^{2} + 176133001741640478295718539784a - 259171194794236279442225820456 )x^{41} + (-105211190270568698479963746676a^{2} - 337566974548310338088072813736a + 307785149993492515769582467252 )x^{40} + (325786957197070702397841271744a^{2} - 107133519582322419273764476416a + 266352718589653407753450278416 )x^{39} + (68768502770641615304302790272a^{2} - 83534523914396260037088768164a + 98377720906803134393898773952 )x^{38} + (122666817790422713113468624088a^{2} - 574079989559959823278917809680a + 626428669879494070263495303904 )x^{37} + (327932141737050726641449088328a^{2} + 395164946127795964521061489864a + 37849881669013144057751248332 )x^{36} + (255032556913622520050390794832a^{2} + 164079024036368126031512533328a - 454124845939252297946911740144 )x^{35} + (-175978689609833469052184277316a^{2} + 335739104490888051122639148780a - 21500976848317034607999812312 )x^{34} + (-176209592676069001689861327552a^{2} + 52854922387090917791208821552a + 467571279371350289623015429608 )x^{33} + (-599585962438857712453636145324a^{2} + 211357861263034245283698220738a + 193241560472472060768170476668 )x^{32} + (337385914803873028996979331600a^{2} + 330801061163386823891031385648a + 260295577515008864568413333856 )x^{31} + (-258786083301078483682523502672a^{2} + 453657351238369570706094709592a + 34124613548543604241733676896 )x^{30} + (-353335741584503463526131521984a^{2} - 147849066927596603330191441736a + 438425676898954820417096117232 )x^{29} + (-77525702138733023822090324772a^{2} - 295590089970507871670868311764a - 410379654791327578950158815080 )x^{28} + (555242774987984858670357424432a^{2} + 534469361632133424447234836176a - 293856091873151875522890400416 )x^{27} + (-478275847522565844525014400608a^{2} - 260863706651240554635154049376a + 34004834787503760528029129040 )x^{26} + (-347220741185746192061168081112a^{2} + 84941541734916139772522877464a + 496176320907767509918052299600 )x^{25} + (569872118506154654340205875648a^{2} + 493258137575337519324844166448a - 36747059572133751006105965212 )x^{24} + (-498658990594149945696353144736a^{2} - 520224373243531797806940459872a + 105433915081327754188630553536 )x^{23} + (-545588918526546979905451998200a^{2} - 631614925510318953922818597576a - 300206298568588083492022229920 )x^{22} + (-475727314946491228632767801296a^{2} - 445148996241062785451461881456a - 100572125776473259045514551936 )x^{21} + (295896334855473948744583519664a^{2} + 259284181170456536705434153664a - 143612307758400851168801435784 )x^{20} + (-395208919515383666102210070064a^{2} - 496486411408080676058817446928a + 80679012039886975075899454272 )x^{19} + (-61280737352002216012897098184a^{2} + 69348024178317903697282787176a - 22463932340330619683734442184 )x^{18} + (217075664781934076849205961152a^{2} + 158381671357845286228710846208a + 304469614746385676195648910544 )x^{17} + (339578745175205147371178696840a^{2} - 625750008970811247341198800672a + 595946341631130732903951051500 )x^{16} + (-489514213590902684377277974912a^{2} + 309220584031031162107783840096a + 624310067595578454473114359840 )x^{15} + (-493946169258662501294918571728a^{2} + 73347693231269272578084749376a - 113613505557125361031058544304 )x^{14} + (-161563757274989453856247258480a^{2} + 434543487865953440809781878688a + 380758816286840747292433294048 )x^{13} + (-360760537364464039754422174616a^{2} - 397260515378338771041775384088a + 113204557521830146642848942360 )x^{12} + (608319192893050044923531130272a^{2} - 35144461782915777223788580864a - 336958998866713745055484093440 )x^{11} + (-383861903232049451130810857512a^{2} - 237728605839331214281618286168a + 256167661692452104918816920624 )x^{10} + (-230172869008881373618444833968a^{2} - 101767730390368849946593316720a + 351848579565407990407413588752 )x^{9} + (-587592395899301109397377574224a^{2} + 335957839229020674271905548892a + 166205937071826470334218151152 )x^{8} + (257911845354638079868369348384a^{2} + 343249988842027327974662474848a + 429651146380503990948932743680 )x^{7} + (387762139275576330750564867056a^{2} + 540175917763308895364723525888a - 431845220274330746867008348832 )x^{6} + (187986416357747096843565978720a^{2} + 356193384657784671037240448992a + 327333619614058820299347028160 )x^{5} + (-86532124821543312880885575176a^{2} - 443985244332817067612704828968a - 177239228619691739189946562368 )x^{4} + (-484808227974452750918377833024a^{2} - 181877856513301601907943372480a + 103008905191503866766500934592 )x^{3} + (-501869332998539246399004637056a^{2} - 343976309066514535190891036624a - 412633824295237121298706698688 )x^{2} + (360593466902992888154080386416a^{2} - 372792971810750982396570777744a - 302948842500449326928269404256 )x - 108134866514417706220853351520a^{2} - 356605678426554736994625102608a + 561103410853573874313909131956 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary