← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-490467211348579151160882217560a^{2} - 226130649730349483287370487904a + 229636776495690585105707263664 )x^{47} + (-411559022655885304955393635788a^{2} + 205245915493190439719076631040a + 110055087960152579912890547248 )x^{46} + (446708852386155637734353800096a^{2} + 305403574672553468758165291632a + 303928758568019258906638593688 )x^{45} + (-7465487196548249543809684732a^{2} + 491006805391383094751269490240a - 49197897073080199092409546872 )x^{44} + (-52355485009951887254930534048a^{2} - 414019016514130503495057031488a + 128003894200699625713302545776 )x^{43} + (-439717881510916963397414167688a^{2} - 595291696829330080809537382272a + 270874043564095421556384331060 )x^{42} + (605856842110193827850221300448a^{2} - 560300123290052460639814591920a - 321084932574065307618275654680 )x^{41} + (-24588656024100037959453380320a^{2} - 327782959962616362285253421776a - 417538905327648292717115808028 )x^{40} + (607103791395559783662385090112a^{2} - 314123709690778791987292278720a - 514281701838491509154821283200 )x^{39} + (-467233815384374603731166822232a^{2} + 19254849221746651218696853904a - 94373813211069491544066591184 )x^{38} + (-613874599950965327066712199128a^{2} - 528330258172419374462057463448a + 468057961572853734317182465968 )x^{37} + (11798876583474309476243141280a^{2} + 282281734519867599904454037744a - 243297885912010237424587983788 )x^{36} + (-113665960492667957772104084928a^{2} + 318828697253341227353303518352a + 75652797603560769877609850048 )x^{35} + (77860536340797076437546293716a^{2} - 102200208345843214148227817924a - 435528557596190557332413124016 )x^{34} + (227429164764416344164444931088a^{2} + 163397486476465344539688795360a - 45756433961402077308163284352 )x^{33} + (45517740956495927678859925588a^{2} - 198787975609930801955707639074a + 609348018468798189297884042588 )x^{32} + (-235040317474959377761849313872a^{2} - 323311269489173627266068690160a + 348934085734102141796657900720 )x^{31} + (429246560468847398588269201184a^{2} - 66162785631932761704936352744a - 453177468034703606515799603664 )x^{30} + (279307847546677884692973464312a^{2} - 246103486746686412197040282376a + 18253870535960405128617940704 )x^{29} + (86118713786439385365304058596a^{2} + 2048652022080936756565884524a + 131217894951217537898733964952 )x^{28} + (246078154149080027429076099104a^{2} - 224323895249889905409143543136a - 218740797816889681436117806432 )x^{27} + (528886514926441764229506944192a^{2} + 55076597279932255293127962320a + 95369874978090415244964092440 )x^{26} + (-243960783359086576373749455488a^{2} + 54383232151190767357973191184a - 134671868586868945325914322608 )x^{25} + (-423180890524478080211036041232a^{2} - 294149688346647784165328058648a + 3729984870568773360353209056 )x^{24} + (258500187970150367065173196336a^{2} - 330840947505076606786542233104a + 617302687017868298960105149568 )x^{23} + (147283694541883763447214212936a^{2} - 124772333236075179112347725648a + 176629884238500197785867110944 )x^{22} + (-495380057070517862842687050400a^{2} - 22838918020875591641086834176a + 403983709796211058760282026576 )x^{21} + (455031559003836140230204019168a^{2} - 33562087440947246820280413120a - 189146311007470571123885933464 )x^{20} + (628725567255316032286855698784a^{2} + 244875875952037995059040448480a - 362000222259252073941543974272 )x^{19} + (-489684187581453392662772619080a^{2} - 9564816514521847833842243416a - 374394661540504896508529753256 )x^{18} + (-315469729269957329604012367216a^{2} - 131194197454638316964236087552a - 347447227117719851839080243248 )x^{17} + (237243187705714777351955765168a^{2} + 629580760447446954413409532176a + 99157914790647852270366618172 )x^{16} + (463696464544946918756109557696a^{2} + 549613054077914585383771285600a + 155905041654738759417602755552 )x^{15} + (498116216796181250621281126160a^{2} + 46792055611882925928218593208a + 223325042954798398347237324224 )x^{14} + (-632660638885265080291060330944a^{2} - 126057189791762705733453203200a - 14553869929345215214500989312 )x^{13} + (464098074883580586036810854760a^{2} - 379077719242073741007944731560a + 83091518297056507616013989080 )x^{12} + (-626277872857669783220091705760a^{2} + 490829054939783375554751496384a + 188753411734662785592606265888 )x^{11} + (-420650055982265786351304098376a^{2} - 170892768082448622862793307096a - 550782400516522085143853251440 )x^{10} + (-33326654964930338952950184160a^{2} - 591071981897302904686371053856a + 12406701001300953610226673888 )x^{9} + (83699123389765157926462689672a^{2} + 270301389236075284682687965996a + 22580163839052206822774912208 )x^{8} + (459439849184729567365639937696a^{2} + 269402643297247322821788717472a - 382253492484028848826542114144 )x^{7} + (419588346604753988756137945232a^{2} - 134000120838658055786931716000a - 569466943614717640432707333360 )x^{6} + (-513870014255528042250839841168a^{2} - 415357051237256028473219832640a + 14412931443739924865416972896 )x^{5} + (486360157256706691277934969096a^{2} + 212880099779178863335627523896a - 445594350451185711279429222432 )x^{4} + (-435483773160747598062759458048a^{2} + 299787837601161624910069708736a - 174442742966812613309721892736 )x^{3} + (-413623246563782994148609585312a^{2} - 339211392577456545700210935696a + 394542761973730028905472898576 )x^{2} + (597863420196320146250960347904a^{2} - 140329460330776634205939637088a - 593986757321419037026023305984 )x + 532694763398001412703884355888a^{2} + 581983646868835618202566899520a + 80914440041365115717744701500 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary