← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-490467211348579151160882217560a^{2} - 226130649730349483287370487904a + 229636776495690585105707263664 )x^{47} + (-153078664448182559373650572196a^{2} + 195975897247986633346348165968a + 177132815214769829886707356160 )x^{46} + (-453551809292070287989463691760a^{2} - 343299702087868815759567163008a - 307489360880793502122745794040 )x^{45} + (-397807418393331553987036645804a^{2} + 126677191702284308429831695480a + 341218921942705047729598070816 )x^{44} + (-516265340847706503735601583600a^{2} + 32429177715797631161962298416a - 410256824857086356718726381008 )x^{43} + (539186413975589769392168932656a^{2} - 565862373929509474407822445792a - 456797053103280298170345620364 )x^{42} + (88905180624287203578036266552a^{2} - 324877396744687385563139608208a + 253898802693706864109623925024 )x^{41} + (312853333480743344412807209688a^{2} - 155243289081191764583758937844a + 310428964158456190004305044268 )x^{40} + (-225995668827453339374645962816a^{2} + 483891400538352909121334843936a - 541286797145726751233910115680 )x^{39} + (-38152052441994576760676213360a^{2} + 238934144525910798021282550296a - 413102438123309675333177164648 )x^{38} + (403302366211509582892380138952a^{2} - 559993417510609965718950382296a + 548192848711492428294980045072 )x^{37} + (-337725441792051200598319769184a^{2} + 182821574322288722546167950824a - 624184288013631111450472179108 )x^{36} + (557286103899569200548717831584a^{2} - 89228352991740653977532286784a + 611073938712649807521947706368 )x^{35} + (-106684293300301343163283420996a^{2} + 505363777019806154542160313436a + 273931477470624412507144729280 )x^{34} + (-252279911721107371402181662816a^{2} - 334824429111943292759700159936a + 204984675631024611365481335152 )x^{33} + (-165228827187430956864367522480a^{2} + 223861067857133412994879794794a + 96846094806683317283636422280 )x^{32} + (508109023443159922772953825392a^{2} - 9976920467866679839569328752a + 26554295755984971006338390928 )x^{31} + (11031778895998462690461694560a^{2} + 328793988423103656565509775864a - 253681421814992776764009008224 )x^{30} + (-152434326435708235805634137064a^{2} + 277248486995683495661172118776a + 38775646663975069781155303808 )x^{29} + (498818351795223600800709159324a^{2} - 618399382081862145084604141268a - 522792813264071270683708167272 )x^{28} + (93366290131998742914920097088a^{2} - 12307241494529051090857648640a + 44145967429323773790986613856 )x^{27} + (294523376184972518357162993392a^{2} - 391835024601822811220416054984a + 1284405852015197764361897200 )x^{26} + (50617206711620534881337804704a^{2} - 551260059684962549804459731024a + 169784429579553033813461252208 )x^{25} + (-145561021960145362335822457936a^{2} - 594974295324072012804290068864a + 358034492581407103971629090176 )x^{24} + (-85636466690899849426335021104a^{2} + 410018943725649227337346896944a + 460576105934020651081403578592 )x^{23} + (587354481524703008217796570200a^{2} - 293585133124364944846048246512a + 33927885088121177330362491328 )x^{22} + (-228889817669280021575933390144a^{2} - 569902490631656205901199161600a + 315548918162002150878168094384 )x^{21} + (58056252173384536732282128328a^{2} + 249828840011964436076324363448a + 36061892171128606078895573344 )x^{20} + (475980473602585259243755469984a^{2} + 586679417052089774511894699744a - 357014986387796693126094402784 )x^{19} + (-486098350074168765660543275912a^{2} - 612763009884884470126207709288a + 506023107658384182508477160904 )x^{18} + (246855502388580416255137040224a^{2} - 55503206251100209779048602352a + 84856318568187944674478970448 )x^{17} + (-569572857752928791531512746800a^{2} + 401958832963910779933626632712a - 586446427209867385478709774740 )x^{16} + (69348479618943708370996678336a^{2} - 629374058748821273447988254880a - 619259308481428367582820080352 )x^{15} + (495930915025829661993924843568a^{2} - 268724997456904449991274813672a + 394638735254613492227574310976 )x^{14} + (-569852626574456563281623118048a^{2} - 564699524852781445842163691040a - 90865207138821959945880121952 )x^{13} + (410632707589460766214242298440a^{2} + 77282355133497066646857076616a + 627614198271087044424228938648 )x^{12} + (-468053286875241350408901126976a^{2} - 34327944636850355287535368448a - 205494477832005698093892787648 )x^{11} + (-150942153356316359723577499224a^{2} - 373291629062711853245272769000a + 3494748143923332129183047216 )x^{10} + (408079507222903061784892833728a^{2} + 184910477846782866711578273632a - 426021999722277093179162112064 )x^{9} + (-526338963728628249376351377464a^{2} - 224366735508951218695582845844a + 495970117964785187711813020224 )x^{8} + (221116037136566878323047912416a^{2} + 116734061372295055145077062176a - 154636824642240194503228491808 )x^{7} + (542059963330510179571760577616a^{2} - 340839764908949539549030768864a - 81260742200527753316853497936 )x^{6} + (-424585486170840126385971698704a^{2} + 464695770761810477645115236576a - 119668358729814769915674169568 )x^{5} + (399802815075679076133694489528a^{2} - 333055549708491155088481837784a + 125323427679392755688038173184 )x^{4} + (-214649104671680616204296130432a^{2} + 191176473021333761233519906560a - 187912975125607856634684558016 )x^{3} + (-26581950611231734672262826272a^{2} - 122796619140775366977821720080a - 334021163214749625719585281744 )x^{2} + (-61620912663874657534755920416a^{2} + 129344797564256466312630991072a + 410305066374610001059976717152 )x - 107477942247046897523844246720a^{2} + 3009205746631937872480906528a - 477560005853600509318289881636 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary