← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-490467211348579151160882217560a^{2} - 226130649730349483287370487904a + 229636776495690585105707263664 )x^{47} + (299236350707137318337359433852a^{2} - 292776633979891271352667261096a - 125525545540688482005307318528 )x^{46} + (475392848502056129998111830592a^{2} + 518370792136963338546540170256a - 126122050719246622852881281912 )x^{45} + (-534855110534915128954671392292a^{2} + 345288269682938133962565373144a + 163060202715520800628916846208 )x^{44} + (-361290582001333200391234295776a^{2} + 532344108635674972660254243472a - 9903796106025845887190134800 )x^{43} + (553670657286597962184774702416a^{2} - 198478181424375914461433608320a + 566338337993516173069487239868 )x^{42} + (-270164933669160915526377879440a^{2} + 164867976466937141515303013000a - 494645290347862251277412325472 )x^{41} + (315612433033862392686843772440a^{2} - 179198055346355711696997998900a - 59462552368698483181361830292 )x^{40} + (357124166105456219306190330048a^{2} - 489380747697901705869846714432a - 98261357970335967109965259584 )x^{39} + (-437887681051566281312695336128a^{2} - 403182914385635427480913560544a + 554993034349352909323884396312 )x^{38} + (312576198183298606079576786328a^{2} + 261136444878089121271484657704a - 219149038383110470621849238208 )x^{37} + (-21247022585254860567411805944a^{2} + 259801346597477139091978937592a + 410535980288842960792888231148 )x^{36} + (413395700151395139166775358432a^{2} + 65145164984936525131310668416a - 336099848861177196563074740128 )x^{35} + (447675060489955186903102835548a^{2} + 466736578258182181961530148196a - 171112294598818666281580323600 )x^{34} + (-277928614935632543468096470992a^{2} - 148190021876300271818613660944a + 82958819016973187404098153840 )x^{33} + (-303780979102041483182263406376a^{2} - 244031424499450734690589639274a - 573919880312896690037316478464 )x^{32} + (-199497847579867703169109297360a^{2} - 509897090109915922076934696016a - 371147339206787536534798517840 )x^{31} + (317856247725515051617059838176a^{2} + 397646880518329227443093360776a + 527010630331855123859098282128 )x^{30} + (401874299545474086259914553080a^{2} + 485733596689142813721322919064a - 381566209570049296870659781536 )x^{29} + (-210581087493163409027197830932a^{2} - 499974052874559188628627014524a - 615146418904904541688946312248 )x^{28} + (75614039144351706312685002112a^{2} + 516773274863448089527018839552a + 551795823398455898139662194112 )x^{27} + (510848496130164214755009869904a^{2} + 130778104110850991829467310352a + 552057997700374681401301117504 )x^{26} + (50699639177484228272172607360a^{2} + 211105722285354433325510244944a + 353319003219641876934269604336 )x^{25} + (391725828485399492174762409648a^{2} - 309154158031505362086081336048a - 92710429434481909347193518232 )x^{24} + (260560369399041434459063309296a^{2} - 222619654740052304545635720016a + 23411477446351868519049249952 )x^{23} + (345229627596029916840254918168a^{2} + 328311833976116699022995741936a - 268391726065358878728561458496 )x^{22} + (115284285885108570058468889664a^{2} - 322855419431542823036136569504a + 491798793098949888452892323312 )x^{21} + (70963195299280340384664428824a^{2} + 333060793574203027130363453064a - 481210220238426951826499112688 )x^{20} + (-142048571300903809480583173280a^{2} - 202970340055085269395241767552a + 357270526324759370923057913696 )x^{19} + (71838455124017477253844460264a^{2} + 185865591816937209679333273928a + 382414978034198523554913435992 )x^{18} + (265602598063771269563223315888a^{2} + 246121630708538588572130620080a + 150450346919231935104492773264 )x^{17} + (-120462915015365666607631969728a^{2} + 380646813568654158174160082504a + 420126447752945952282289670268 )x^{16} + (95760219388540211818860897856a^{2} + 189484322566703780375284800864a + 116054038177799755885696817824 )x^{15} + (-558565673620045913323843285552a^{2} + 280690170147934593414662012792a + 325529764376407405511929792224 )x^{14} + (446620197363279641580400134432a^{2} - 511532336476459334164787060928a + 450828534167291165258674414976 )x^{13} + (139806011092604239033750830808a^{2} - 340149241001404257904738701992a - 191866427036122170599223445720 )x^{12} + (222961183903489757988077542656a^{2} - 487059500276798437169642040960a + 340955352357809993048453038976 )x^{11} + (-240223356631681275568674882664a^{2} - 545766189199693213705059643592a - 109458696623265151248174923760 )x^{10} + (466871462529454720028277742560a^{2} + 2963997153290226096747212928a - 192541501564236484507951636096 )x^{9} + (-381769054945968338372630648792a^{2} - 446357310132757434933380351892a - 152656412363925556997055206304 )x^{8} + (-540207277575866608689931320416a^{2} - 529993613289524219659150886624a + 49628167339541781859658083040 )x^{7} + (-10235959317720346679913630800a^{2} + 519225758670107502117436557024a - 606981183798982397011383079632 )x^{6} + (-211711984478122093374292210032a^{2} + 626903951439327749540574775104a + 318901540123574841122867716128 )x^{5} + (-79373168749888171119022832600a^{2} - 45464154191909142934910732664a - 227179744036112078897095955744 )x^{4} + (436615991442699130141415520064a^{2} + 129963262119494076494359184768a + 186207121357132741103387195712 )x^{3} + (211225747837002830461113411616a^{2} - 260697573043113104282272219728a - 10903045527761982268934661552 )x^{2} + (453984346089275775755939782336a^{2} + 310638321083490071799232951936a - 470684390336500022906353803360 )x - 184429011227752801514085863392a^{2} + 401133767173277423089989285600a + 129050434649722332870992150892 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary