← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.517944_569144_1001472.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-282087976748857372891134102618a^{2} - 263380049895434973808850932871a - 150553423762301983272719067152)\mu_3 + (229649872292715484952584590308a^{2} + 85719923540544754907641132625a - 4303021302481115239015006474))b + ((-213841376912282612552920495719a^{2} + 139299536282466303860692935660a - 278167161291515102207425802677)\mu_3 - 126390472375022958143647916235a^{2} + 119450101143264243763907475191a + 56227457616794997887047921579))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (3a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + 2a^{2})b + (-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a + 1)\mu_3 + (3a + 1))b + ((-a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a)))\cdot c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((3a^{2} + a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 2a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a + 1))b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 2))b + 4)c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((3a^{2}\mu_3 + (a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + 2a)\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + (2a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2)b + (4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + 2a)\cdot b + 4\mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 2)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((a^{2} + a + 1)\mu_3 + 3a^{2})b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b^{2} + ((a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (a\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + 2a^{2}b + (-3a^{2} - 1)\mu_3 + a^{2} - 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b^{2} + 2a\cdot b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 3))b + 4\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-490467211348579151160882217560a^{2} - 226130649730349483287370487904a + 229636776495690585105707263664 )x^{47} + (255509806044957570228876414852a^{2} - 510025464725092786927429575352a + 547156094976775982807877573904 )x^{46} + (-305968691474539418102235366096a^{2} - 37015912853774351558289447520a + 161339674970961853531151974200 )x^{45} + (-565769385607454244512587200308a^{2} - 24918854128686374422353156912a - 386716318880811310021261004680 )x^{44} + (-572088978051579947778652003472a^{2} - 105782653644699687575402117824a + 285586864808419737567553197968 )x^{43} + (-232310334962262982497811348472a^{2} + 334674428797143236839995397776a - 305748877064567461582599757492 )x^{42} + (-26852705722882438625483835480a^{2} + 242401681514248554644882639480a + 18839307341418713386239695896 )x^{41} + (219619825034474385855202048760a^{2} - 521004401240415766617744284696a + 374513186499132237445016816892 )x^{40} + (-609807048992401716957707973696a^{2} + 340370716539893308641916950560a - 409972401607473508154108370208 )x^{39} + (149255159842312105725477245560a^{2} - 389966073005530060345524217720a + 202759852454372137810929953504 )x^{38} + (-182156278482801185288113374984a^{2} + 424092637632031349332439732616a - 487697554184131014969741123072 )x^{37} + (-468961164660367379745993396824a^{2} + 617779845945105166700156521840a - 526372780722191335440363788556 )x^{36} + (-75268267457932223230614379616a^{2} - 254239900076127390494725493168a - 349812497387143075754625530496 )x^{35} + (-5879198752329566880136549676a^{2} + 340653537443432565600356405668a - 380208167021062497598070349392 )x^{34} + (299415852677438217014635466592a^{2} - 3456242323719996953164840304a - 172577546684972916158214520000 )x^{33} + (503990696844807124765144942404a^{2} - 547169839412416787011866762934a + 129834107804524652479232257204 )x^{32} + (-496611518552727610614047462288a^{2} - 298113985954040695075670740752a + 35872211680845914689441486480 )x^{31} + (-7610332135844507169563416512a^{2} + 441502233356558330703900171240a + 46848741884367286021129144224 )x^{30} + (95819560338660352780656186840a^{2} + 271339899163160870682174081880a + 191280632260706635742778133568 )x^{29} + (373768623618785940123243779812a^{2} + 428014542481570674129761606084a - 612200768332816366724595802200 )x^{28} + (-167825616623804807067943740832a^{2} + 182031215099784079956818813984a - 260094132485691992747664705536 )x^{27} + (-7566074702512242646931445968a^{2} - 510827583171219101940338040056a - 546987075075375909247069419800 )x^{26} + (-593374841757568459967401025888a^{2} + 313173743624940198135932828848a + 35800427592258836943190443728 )x^{25} + (494764686267185307700016485792a^{2} + 239386597448348484397798980808a - 304588052054407349067694444888 )x^{24} + (-545957886019557458917939508784a^{2} - 475481529202400764474465512016a - 297383812395529039543098536448 )x^{23} + (115022545148075311433120299048a^{2} - 314681309255560724263158788176a - 347579122032564213478868702240 )x^{22} + (-247018715444382323046986699424a^{2} + 274924480796711705217781519840a - 127395745274179993602031687792 )x^{21} + (83087139355776765158400309200a^{2} - 406212772232646611577783239184a + 381703107407092636775404341784 )x^{20} + (34397295808626759300425810400a^{2} - 110387316171697274421747772992a - 28099581326397452647836634752 )x^{19} + (526006235063798999042041252936a^{2} + 172560827553644207822861747864a + 274797094926101435094137014088 )x^{18} + (615439680814100317550102357120a^{2} + 201028683924509175703948830816a + 472684161766554765057584474320 )x^{17} + (-589386993726939934718356051056a^{2} - 50957541963085016705103021424a + 405813617345887281215914727580 )x^{16} + (-438206744668435370889212955840a^{2} + 454567419106957980078834424416a + 202757776687642877610417483872 )x^{15} + (-448290562380041623545158386384a^{2} + 274295375432711206347521269912a - 502522978363349297407561256096 )x^{14} + (510599133059188588744816439872a^{2} + 464700881537732301677476493856a - 145316511428496346066628644000 )x^{13} + (-543263993035382455769407053320a^{2} - 71213831045169625413568699640a - 87170131300764896454364659640 )x^{12} + (140625120216007104259256273184a^{2} - 382278176691647073029977167680a - 329490434076206086424831078432 )x^{11} + (337214895612717763209763054152a^{2} + 191407621644707694308625862504a + 487575685684094056653613718544 )x^{10} + (251180577534826636009659562816a^{2} + 515495490895416359558539435008a + 391904027495632799729113065056 )x^{9} + (62495847982972484646774960904a^{2} + 358846479060165863254367686572a + 616582342213291106874357063408 )x^{8} + (53667860703862149791308156000a^{2} - 589501568344264909078185770336a + 113808052769409377942912035488 )x^{7} + (-194216073454251940482618498384a^{2} - 509009590858740899343544475552a - 296779209035893123736602944624 )x^{6} + (-319685417933000566598871296560a^{2} + 483946660490990812882581153184a + 160672750621004723750747011360 )x^{5} + (119646478451930198363045571576a^{2} + 356599045540256864619393080216a - 321983303706795323033723420160 )x^{4} + (545459373513234957275359507392a^{2} + 606402280105687027233091298880a + 15105542092716658786914527232 )x^{3} + (226842204897224965511370670464a^{2} + 548714455693047092241337504496a - 273148437307234319722155123152 )x^{2} + (554331717261200532107005985824a^{2} - 390805048247053395813472672704a - 312002687628249106749436112256 )x - 390984083520684749851689802352a^{2} + 419113147128863753008098310048a + 242924602292491300810969500012 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary