← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.p

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (416757353846939601845405407816a^{2} - 183869166064060462741424556352a + 129177159993556290774479904232 )x^{47} + (431832944731708626020061306612a^{2} - 57000352181083177144076790484a + 352043905834607415114212458776 )x^{46} + (-338890672485466612420293253472a^{2} + 550251062769318421603679817920a + 537520967561701573269187832168 )x^{45} + (181469405497560812055855262048a^{2} - 214071558268858693417754543028a + 202571351833799449828869930832 )x^{44} + (-354348115057109410271632568224a^{2} - 286801009637846651743772905216a - 338048031418742834230184714976 )x^{43} + (156841285528109319552163239736a^{2} + 239194799994210417540827107028a - 274656830066807263175516431560 )x^{42} + (-7360282412172993886722688848a^{2} - 354277579066502770843003141072a - 457871745392320629023355174536 )x^{41} + (-92648649236815538004026742056a^{2} + 467896036755493099225305348612a - 77077097207250486779130326956 )x^{40} + (-565948857076816919024475276832a^{2} - 313144204083963444371128372784a + 7320242503522164408391233904 )x^{39} + (-31604974196158551851241463016a^{2} + 243151423222272005337437232712a - 76534494416005876605578868952 )x^{38} + (385850618225543704527679256976a^{2} - 424758118370451660009985085416a - 315059112838616543341036101016 )x^{37} + (243214920090525641589765843408a^{2} - 614120431942671926699356644764a - 418804360234354986466364948608 )x^{36} + (-390502686791886813828675225264a^{2} + 220607330873406518360739133680a - 91617281069526965367322560832 )x^{35} + (528078690520945544639386799480a^{2} + 311094157499114687711636565860a - 191311064232840043070174168408 )x^{34} + (72057063413930048485747010664a^{2} + 335047378251661517482307232528a + 475858342314556834420988557488 )x^{33} + (546914137712104359074091857724a^{2} + 411987086110322881477785397662a + 554985350317630891450879376596 )x^{32} + (-585968869580337485038909877504a^{2} + 483992006848542676058545907840a - 70063460544540078664825588944 )x^{31} + (-594911558980040041952927594528a^{2} + 165683222989225137669524230840a - 193243697344995637421946269920 )x^{30} + (-338868309118926693299476356544a^{2} + 331592130402054369965143876664a - 20571137768363532682143822208 )x^{29} + (14068826422315187230507395988a^{2} + 524867669681042906359547023788a - 465384437981948646440554163376 )x^{28} + (368396322033941720465126065152a^{2} + 229451858979032579672192953120a - 157540332995480489800917479024 )x^{27} + (-468641109085483890461559436632a^{2} + 334812089810986111620343716960a - 626823657682287065433069969968 )x^{26} + (-388422369973899809333191123920a^{2} + 383989486969694624172723724608a + 408413502578743086555503814240 )x^{25} + (-523687195486194367798284817904a^{2} + 589495679101105399617530268188a - 128364386971677743786149994436 )x^{24} + (-91411848448898674170040760400a^{2} + 225286521448752055788385308336a + 514635631249988010277136449984 )x^{23} + (503257367021264649746762656072a^{2} + 545170364787167760245188726024a - 581654991258551069196513223584 )x^{22} + (560399503216635441823502837024a^{2} + 366467440732162499773291996192a - 219924106770339514941681950752 )x^{21} + (151240707117361547994631993680a^{2} - 105591370809620003406175120648a - 429575313280064531684706311208 )x^{20} + (420121095124891575254982716992a^{2} - 45517023593086077402089008128a + 146550940376575159260427678208 )x^{19} + (590580397157797975283532576824a^{2} + 441944704763042582053153604688a + 592631745971028839053484859448 )x^{18} + (359580742392129170876466817136a^{2} - 529416392745136874766248056496a + 567663702472634063148271944432 )x^{17} + (-593123992800317633188929381360a^{2} - 484611099453242723831576379524a - 48412404451455038789166943600 )x^{16} + (584117538214203606351737915424a^{2} + 618461597437496246217170803232a - 434645365992670454702521291712 )x^{15} + (-32606708386401092083666493832a^{2} - 289246186755259730449931924808a + 232772126432539317416775049464 )x^{14} + (17333517666382320536754530288a^{2} + 524780834615145489335897742704a - 130064326242183844091055761888 )x^{13} + (76106229126804764901135697824a^{2} - 178496828386996542405331833280a - 54596759881754361022130288400 )x^{12} + (500827902603199636944851059392a^{2} + 372154585491428763373623089312a + 242348847207193361534197831104 )x^{11} + (410538647608428253996526166144a^{2} - 628459225945106462594054704824a + 302110206088563864481452418576 )x^{10} + (-69374560487397323559124166096a^{2} + 529212980579810473159030500832a - 510518755677926990234652319392 )x^{9} + (-265068009694278765514220752200a^{2} + 499895151700688921779736926108a + 369318666473931502910887009504 )x^{8} + (151715257589582485002692192800a^{2} - 219333217230131978315374246336a + 271233698243029434624707522880 )x^{7} + (613160266995166083832102194336a^{2} - 64111349530537913658346445104a - 625524153086668456111972885904 )x^{6} + (982513828706726925791686752a^{2} - 58661041724824710749712411312a + 273809893592484089627566396848 )x^{5} + (428139099923348005653873505192a^{2} - 46212185244591900120175306808a + 187910744925397003059297641344 )x^{4} + (-624997121679545787201694876544a^{2} - 473777872549647200349342800064a + 257619520377822767894114536288 )x^{3} + (-625415550887100958977961010704a^{2} - 276450922275574495297743828672a + 156298912542300402941940343616 )x^{2} + (-549302402224559863864675713632a^{2} - 268784516153878792537496586752a + 365402845294353590414338531776 )x - 87303832105393520581109603200a^{2} + 313861453087796137528533710792a + 531916356258138027401631218756 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary