← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.7.1.513132_656914_905854.o

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 7\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b^{3} x + (((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((-51597045147090571702797399556a^{2} + 257608129139950886610098120128a + 74728117604421003037508641724)\mu_3 + (187499929059638459963569316457a^{2} - 29754547467461684562486851637a - 153769751456918971107302973891))b + ((207742064989575214408932167430a^{2} - 35788549766657699303133304969a + 56544353838422459039012753155)\mu_3 - 108141398985513030741810152711a^{2} - 168475105984588599729321315130a - 17604786000659155304637416402))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
11
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 11 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 11 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(\mu_3c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + 1)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + (2a^{2} + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 2))b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + ((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3)))c + ((3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (3a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + a)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + (a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a + 1))b + (2a^{2} - 3)\mu_3 + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + a)\mu_3 + (2a^{2} + 1))b + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a)))\cdot c + (3\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 2)\mu_3 + (3a + 3))b + (2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2}))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 1)b^{2} + ((3a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b + (-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + (2a + 2)\mu_3b + (4a\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 3))b + ((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3)))c + ((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2))b + (3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4)))c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 1))b + ((4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b + (2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 3))b^{2} + (2a^{2} + 2a)\cdot b + 4a\cdot \mu_3)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (a^{2} + a))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 1))b + ((4a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2))b^{2} + ((3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2))c + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((2a\cdot b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + (a^{2}\mu_3 + (2a + 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b + (-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 1)\mu_3 + (a^{2} + 1))b^{2} + (a\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2))b^{2} + (2a\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + (4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (416757353846939601845405407816a^{2} - 183869166064060462741424556352a + 129177159993556290774479904232 )x^{47} + (334301476598964869075445822868a^{2} + 82017639770590683761498743676a - 198977576826114084550062989888 )x^{46} + (78968208094701079547006267328a^{2} + 399840768215106647997579284528a - 584002323049226139167862735464 )x^{45} + (-90780708252746648894598613128a^{2} - 483326155256242907339901493564a - 8967047817020661552812534032 )x^{44} + (632325463802579745115495626320a^{2} + 145037773571751313464669268208a - 505481918352800054796829959024 )x^{43} + (577574789258460578048509161200a^{2} - 343098105461968952409439403388a - 536087924904847593951585165704 )x^{42} + (501696993462237057601543105848a^{2} - 33058690548270197829447034528a - 512358245508231037681442094136 )x^{41} + (-460659565117292683915460047824a^{2} + 100412069288001326847713371764a - 19497806292762473034064641996 )x^{40} + (-86780757969805438628468787456a^{2} - 261318671317521404527445455408a + 76917739037249871724299105168 )x^{39} + (452435042989883372320662153176a^{2} - 603274986145374871310014866168a + 292760449087928484964906495648 )x^{38} + (-556178073598214190496061824832a^{2} - 112146972004099608496315971640a + 71464401889056741554786873496 )x^{37} + (129194427371029657431883125008a^{2} - 219544105374311543374188757508a - 413527562103381167458206769672 )x^{36} + (151717277919002139600838006960a^{2} - 531241169993005387456487152208a + 20124212878090689917605412864 )x^{35} + (-199605549850687398937760872720a^{2} - 464892388995345115802000061724a - 165732621545586082275268671576 )x^{34} + (218415955430282010148119229672a^{2} - 19870490923002680164226533760a + 437122106070499530978361730432 )x^{33} + (-87008467681270772645876666068a^{2} - 478834382610407178218019161526a - 349921817032331370041941331072 )x^{32} + (237855486515766023992293298976a^{2} + 82545711968102236326400194304a + 211528392318925788916859968752 )x^{31} + (-620739985473306761934663905072a^{2} - 225804518640555780485795279464a - 418342161050717285115943251440 )x^{30} + (-530726222274723407020820800960a^{2} - 120328788378825470100585955752a + 392219935806960037686609937856 )x^{29} + (394776315497561039269061144764a^{2} - 238663045552458618171063813388a - 9830701809186623854774522640 )x^{28} + (552837371742476643516896104128a^{2} + 616984191891180190286187227360a - 265959931608483135448426261008 )x^{27} + (141859784776709907556470830928a^{2} + 305261482009577649090724108800a + 64889608608845136113331687480 )x^{26} + (264801412301136045313721703424a^{2} - 356098889679776875247101152368a - 273693653338433143365957025616 )x^{25} + (-370677783236149677383436585272a^{2} + 374680577556899362571085346308a + 25481506251475192525227363460 )x^{24} + (-157206567946041000863191217232a^{2} - 432832852082332852052911762608a + 515529572322149345133887629888 )x^{23} + (400793534506443167246845186120a^{2} - 252018637470901553963005125112a - 323557979781392879782307981792 )x^{22} + (34376842066978868890002394848a^{2} + 217366486411962950526313466560a - 136104909365050486344284036960 )x^{21} + (-250029248466089694297426476688a^{2} + 464574415484554426427940736920a - 59017060201686273777202701432 )x^{20} + (-257877358056774835717467418144a^{2} + 341917659792730760415611136640a + 148741564610431930259818335200 )x^{19} + (-608373021648632263515941820568a^{2} + 54282632749540907641335293392a - 146975451426524665770665302392 )x^{18} + (-242090769457161628990980427616a^{2} + 402910876513338597067460593568a - 62824940934568880021483688816 )x^{17} + (143699361496511414312860550192a^{2} + 55064269291693671186634337276a + 332816810884570282562227691904 )x^{16} + (428152349471403084536497811360a^{2} - 584803006743573170727667411680a - 207212506248360392363595457984 )x^{15} + (-167538483719434619901907112648a^{2} - 618128213264206593907628731432a - 404933628939673672803753721352 )x^{14} + (268627972192212148577866495888a^{2} + 486046380681297905477939246000a - 53289652971471523566060624160 )x^{13} + (-128703750008772025245318601392a^{2} - 455878256894215581996378415680a - 210468565629419032440449028368 )x^{12} + (159623171916691320647635974848a^{2} - 238279024211285032434426474336a - 410858993986131537838038436992 )x^{11} + (197500724037845346437624986704a^{2} + 485800943868156469439295781624a - 498222447339869965731701909088 )x^{10} + (-58839974786054861917494116400a^{2} - 431119075952446275511354224896a - 217366435674843870628946172032 )x^{9} + (559075771337159087694806560840a^{2} - 464311119001431104987090834756a + 216949932583950409142358006432 )x^{8} + (-54140129364053605364991871584a^{2} + 563475366265189981106600059968a - 533550285786985113430768934336 )x^{7} + (95197614506972269765408268064a^{2} - 366950747524227595961794520880a + 232226478558017412366135997296 )x^{6} + (-165010905684956194590977388000a^{2} - 331924336472610650381339812496a + 513046688641192093822076357328 )x^{5} + (-395520084566204331862334324568a^{2} - 537898565247058897273655854600a + 229276329515504949820276319504 )x^{4} + (355172448037125246647692380672a^{2} - 325248447073846281620099590528a - 516056473040533703704068964896 )x^{3} + (187326429485240178848151698480a^{2} + 517271417327223054958907123584a - 331078600648014791859488240928 )x^{2} + (381162776240530610667423087872a^{2} + 524263828345529907927408745888a - 133807318913850762846657580544 )x + 291743463794416407403681939424a^{2} - 38710207241030870440069654696a + 7203636488978629168939664388 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary